Teoria kolejek

Z Wikipedii

Teoria kolejek to dziedzina matematyki zajmująca się analizowaniem systemów, w których powstają kolejki. Teoria kolejek jest dziedziną związaną z badaniami operacyjnymi, rachunkiem prawdopodobieństwa, management science i matematyką stosowaną.

W systemach którymi zajmuje się teoria kolejek, zlecenia (np. klienci w supermarkecie) napływają do punktów obsługi (kasy) i czekają na obsłużenie w poczekalni (kolejka do kasy). Zwykle przyjmuje się, że tempo napływu klientów jest zmienną losową, co powoduje, że nawet jeżeli punkty obsługi teoretycznie obsługują klientów szybciej niż oni napływają, w systemie powstają kolejki. Kolejki wynikają z tego, że w jednej chwili klienci w ogóle nie pojawiają się przy kasie, natomiast w innej chwili pojawia się "podwójna porcja" klientów.

[edytuj] Oznaczenia

Prekursorem w dziedzinie teorii kolejek był duński inżynier Agner Krarup Erlang pracujący w firmie telekomunikacyjnej. W 1909 roku opublikował on swoją pierwszą pracę dotyczą systemów kolejkowych. Kolejna ważna praca na ten temat, napisana przez Davida G. Kendalla powstała w 1953 roku i dotyczyła notacji, jaką należy stosować przy opisywaniu systemów kolejkowych. Zaproponowana przez Kendala notacja wyglądała następująco: 1/2/3/4/5/6. Poszczególne składowe tej notacji miały następujące znaczenie:

1. Rozkład zmiennej losowej zgodnie z którą napływają zlecenia (np. klienci)

• • M oznacza rozkład wykładniczy
  • D oznacza napływ deterministyczny (a więc zmienna losowa o rozkładzie jednopunktowym)
  • Ek oznacza rozkład Erlanga, gdzie k jest parametrem
  • G oznacza rozkład ogólny (od General) zdefiniowany przez użytkownika

2. Rozkład zmiennej losowej zgodnie z którą zlecenia są obsługiwane - oznaczany tak samo jak w punkcie 1.

3. Liczba stanowisk obsługi

4. Wielkość systemu, a wiec liczba klientów którzy są w danej chwili obsługiwani oraz tych, którzy czekają w poczekalni. Jeżeli liczba klientów, którzy w danej chwili są w systemie jest równa wielkości systemu, kolejni klienci już nie są przyjmowani do systemu (jeżeli więc kolejka w supermarkecie podchodzi do wejścia, nowi klienci już nie wejdą do sklepu).

5. Kolejność obsługi

• • FIFO (First in, First out)
  • LIFO (Last in, First out)
  • SIRO (Service in Random Order)

6. Wielkość populacji, z której "rekrutują się" zlecenia (np. klienci).

[edytuj] Zastosowania

Już na pierwszy rzut oka widać, że notacja zaproponowana przez Kendalla jest bardzo sztywna i trudno przy jej pomocy modelować prawdziwe zjawiska. Przykładowo, przy pomocy tej notacji nie da się uwzględnić, że klienci mogą się różnić między sobą (klienci, którzy przychodzą zrobić duże zakupy na weekend różnią się od klientów, którzy przyszli rano tylko po bułki).

Pierwotnym założeniem było także to, że systemy kolejkowe będą analizowane przy pomocy technik analitycznych. W praktyce okazuje się to jednak bardzo trudne, a często wręcz nie możliwe, ponieważ systemy są zbyt skomplikowane bądź charakteryzujące je zmienne losowe nie dają się w łatwy sposób analizować matematycznie. Dlatego obecnie najwygodniejszą i najczęściej stosowaną techniką są symulacje komputerowe.

Symulacje komputerowe można wykorzystać do analizy systemów kolejkowych w wielu dziedzinach:

• kolejki w supermarketach, stacjach obsługi samochodów, lotniskach
• logistyka i procesy produkcyjne (linie produkcyjne)
• telekomunikacja - zgłoszenia do centrali, call centers
• sieci komputerowe i obsługa systemów z wieloma terminalami
• obwody elektryczne i pamięci komputerowe (tworzenie tzw. stosów)

[edytuj] Narzędzia stosowane do analizy systemów kolejkowych

• język programowania GPSS
• i inne