Wielomiany Zernike'a

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Wielomiany Zernike'a są zbiorem wielomianów ortogonalnych wewnątrz koła jednostkowego wprowadzonych przez Fritsa Zernike.

Spis treści

1 Definicja
2 Przykłady
3 Własności
4 Zastosowanie
5 Zobacz też
6 Linki zewnętrzne

[edytuj] Definicja

Wielomiany Zernike'a zdefiniowane są w postaci zespolonej:

$V_n^{\pm m}(\rho,\theta) = R_n^m(\rho)\,\exp(\pm jm\theta)\,$

gdzie:

$n,m\,$ są liczbami naturalnymi takimi, że $0 \leq m \leq n$ , oraz $n-m\,$ jest parzyste

$\rho,\theta\,$ są współrzędnymi biegunowymi punktu (odpowiednio długością promienia wodzącego i wartością kąta skierowanego).

$R_n^m(\rho)\,$ jest wielomianem radialnym postaci:

$R_n^m(\rho)=\sum_{s=0}^{\frac{n-m}{2}}(-1)^s\frac{(n-s)!}{s!(\frac{n+m}{2}-s)!(\frac{n-m}{2}-s)!}\rho^{n-2s}$

Czasami spotyka się również definicję wielomianów Zernike'a w postaci rzeczywistej. Wyróżnia się parzyste i nieparzyste wielomiany Zernike'a.

$Z_n^m(\rho,\theta) = R^m_n(\rho)\,\cos(m\,\theta) \,$ - wielomian parzysty

$Z_n^{-m}(\rho,\theta) = R^m_n(\rho)\,\sin(m\,\theta) \,$ - wielomian nieparzysty

[edytuj] Przykłady

Kolejne wielomiany Zernike mają rozwinięcie

$V_0^0$	$1\,$
$V_1^1$	$\rho \exp(j\theta)\,$
$V_2^0$	$2\rho^2 - 1\,$
$V_2^2$	$(2\rho^2 - 1)\ \exp(j2\theta)$
$V_3^1$	$(3\rho^3 - 2\rho)\ \exp(j\theta)$
$V_3^3$	$\rho^3\ \exp(j3\theta)$
$V_4^0$	$6\rho^4 - 6\rho^2+1\,$
$V_4^2$	$(4\rho^4 - 3\rho^2)\ \exp(j2\theta)\,$
$V_4^4$	$\rho^4\ \exp(j4\theta)\,$