Zależności opisujące prawo Dopplera

Z Wikipedii

Zależności opisujące prawo Dopplera mają trzy różne postaci. Ruch obserwatora lub źródła generującego falę powoduje zmianę częstotliwości fali wtórnej widocznej dla odbiornika, co określa się jako efekt Dopplera. Da się wyodrębnić trzy różne sytuacje, w których to zjawisko ma miejsce:

• ruch źródła względem stałego obserwatora, przy czym prędkość ruchu jest znacznie mniejsza niż prędkość rozchodzenia się fali, a prędkość źródła względem obserwatora znacznie mniejsza od prędkości światła,
• ruch obserwatora względem stałego źródła, przy czym prędkość obserwatora jest porównywalna z prędkością fali, a prędkość źródła względem obserwatora znacznie mniejsza od prędkości światła,
• prędkość ruchu obserwatora względem źródła zbliżona do prędkości światła, czyli przypadek relatywistyczny.

Spis treści 1 Ruch źródła względem stałego obserwatora 2 Ruch obserwatora względem stałego źródła 3 Przypadek relatywistyczny 4 Uogólnienie 5 Zakres stosowalności

[edytuj] Ruch źródła względem stałego obserwatora

Dokładny opis tego przypadku znajduje się w artykule Efekt Dopplera. Zakładamy, że fala rozchodzi się w pewnym ośrodku, względem którego obserwator się nie porusza, a źródło porusza się po linii prostej łączącej źródło i obserwatora. Prawo Dopplera w takiej sytuacji można opisać zależnością:

gdzie:

• f – częstotliwość fali obserwowanej,
• f₀ – częstotliwość fali generowanej,
• v – prędkość fali w ośrodku,
• v_zr – prędkość źródła.

W praktyce okazuje się, że ta postać prawa Dopplera daje wyniki zgodne z eksperymentem dla bardzo szerokiego zakresu sytuacji. Zarówno przy poruszającym się odbiorniku, a nie źródle jak i dla fal elektromagnetycznych poruszających się z prędkością światła oraz bez udziału medium.

[edytuj] Ruch obserwatora względem stałego źródła

Zgodnie z zależnością:

gdzie: λ – długość fali,

nieporuszający się odbiornik zarejestruje f szczytów fal w ciągu jednostkowego okresu czasu. Jednak jeżeli odbiornik zacznie poruszać się w kierunku do źródła fali, to będzie musiał pokonać o kilka szczytów fali więcej. Zwiększona ilość fal, które zarejestruje w jednostce czasu będzie opisana zależnością:

gdzie: v_ob – prędkość obserwatora.

Jeżeli teraz dodamy do siebie zależności (2) i (3), to uzyskamy rozwiązanie problemu:

które po kilku prostych przekształceniach da zależność:

[edytuj] Przypadek relatywistyczny

Kiedy zaczniemy rozważać zachowanie się fal świetlnych w próżni przekonamy się, że medium służące za punkt odniesienia nie istnieje. Przypadki ruchu obserwatora i ruchu źródła staną się jednym przypadkiem ruchu obserwatora względem źródła. Zgodnie ze szczególną teorią względności prędkość rozchodzenia się fali świetlnej względem obserwatora będzie zawsze równa c. Jeżeli źródło i obserwator będą się od siebie oddalać, to mierzona częstotliwość fali świetlnej zacznie maleć i będzie opisana zależnością:

gdzie:

• v_obzr – prędkość względna źródła i obserwatora,
• c – prędkość światła.

[edytuj] Uogólnienie

Efekt Dopplera przy prędkościach znacznie mniejszych niż prędkość światła można łatwo opisać jednym, ogólnym wzorem:

f' - częstotliwość znieniona
f₀ - częstotliwość emitowana
v - prędkość rozchodzenia się dźwięku w ośrodku
v_o - prędkość odbiornika/odbiorcy
v_z - prędkość nadajnika/nadawcy

przy czym górne/dolne znaki odnoszą się do sytuacji kiedy ciała się zbliżają/oddalają.

[edytuj] Zakres stosowalności

Jeżeli teraz zaczniemy obliczać wartości przesunięcia dopplerowskiego dla różnych fal w różnych sytuacjach okaże się, że dla prędkość spotykanych w codziennym życiu zależność (1) dla fal radiowych daje wartość zgodną z doświadczeniem z błędem mniejszym niż 1 %. Dla fal dźwiękowych różnica pomiędzy zależnościami stanie się widoczna dopiero podczas lotu odrzutowcem.

Uwaga! Kosmologiczne przesunięcie ku czerwieni nie jest opisywane przez prawo Dopplera, ani nawet jego relatywistyczną wersję. Ucieczka galaktyk nie polega bowiem na podróży źródła światła przez przestrzeń, tylko na rozciągnięciu fal świetlnych przez ekspandującą przestrzeń. Opisujące to zjawisko równania zależą od wybranego modelu kosmologicznego, jednak według obecnie obowiązującej wersji kosmologiczne przesunięcie ku czerwieni rośnie do nieskończoności dla odległości około 46 mld lat świetlnych i prędkości ucieczki zbliżonej do trzech prędkości światła w próżni.