Álgebra comutativa

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Em álgebra abstrata, álgebra comutativa estuda anéis comutativos e seus ideais e módulos sobre tais anéis. Exemplos proeminentes de anéis comutativos incluem os anéis de polinômios, anéis de inteiros algébricos e os inteiros p-ádicos.

Tanto a geometria algébrica quanto a teoria algébrica dos números estão construídas sobre a álgebra comutativa. Esta é ainda a principal ferramenta técnica para o estudo local de esquemas.

O estudo de anéis não comutativos é conhecido como álgebra não-comutativa, o que inclui, por exemplo, teoria dos anéis, representação de grupos e álgebras de Banach.

[editar] História

O assunto, primeiramente conhecido como teoria dos ideais, começou com a obra de Richard Dedekind sobre ideais baseado nos trabalhos precedentes de Ernst Kummer e Leopold Kronecker. Mais tarde, David Hilbert introduziu o termo anel para generalizar o termo anel numérico. Hilbert introduziu uam abordagem mais abstrata para suplantar métodos mais concretos e computacionais fundados na análise complexa e teoria dos invariantes clássica. Em contrapartida, Hilbert influenciou Emmy Noether, a quem se deve muito da abordagem abstrata e axiomática do assunto. Outra importante aquisição foi o trabalho de Emanuel Lasker, estudante de Hilbert, que introduziu os ideais primários e provou a primeira versão do teorema de Lasker-Noether.

Muito do desenvolvimento moderno na área enfatiza os módulos. Tanto os ideais de um anel A quanto A-álgebras são casos especiais de A-módulos. Assim, a álgebra comutativa engloba tanto a teoria dos ideais quanto a teoria das extensões dos anéis. Apesar de já estar incipiente na obra de Kronecker, a abordagem moderna usando módulos é geralmente creditada À Emmy Noether.