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Matematicamente, a raiz quadrada de um número real não negativo x é o número real não negativo que, quando multiplicado por si próprio, iguala x. A raiz quadrada de x é simbolizada por √x. Por exemplo, √16 = 4 porque 4 × 4 = 16, e √2 = 1.41421... . AS raízes quadradas são importantes para a resolução de equações quadráticas (equações do 2º grau). A extensão da função raiz quadrada a números negativos leva à criação dos números imaginários e à do campo dos números complexos.

O primeiro uso do símbolo da raiz quadrada remonta ao século XVI. Pensa-se que a sua origem está na letra r minúscula, primeira letra de radix (em latim, raiz).

[editar] Propriedades

As seguintes propriedades da função raiz quadrada são válidas para todos os números reais positivos x e y:

$\sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}$

$\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$

$\sqrt{x^2} = \left|x\right|$ para todo o número real x (ver valor absoluto)

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$

A aplicação da função raiz quadrada a um número racional dá em geral origem a um número algébrico; √x é racional se e só se x puder ser representado por uma razão entre dois quadrados perfeitos. Por exemplo, √2 é irracional.

Geometricamente, a função raiz quadrada trasforma a área de um quadrado no comprimento do seu lado.

Admita-se que x e a são reais, e que 'x² = a, e que se quer determinar x. Um erro frequente é aplicar a função raiz quadrada e concluir que x = √a. Tal não é verdade uma vez que a raiz quadrada de de x² não é x, mas sim o seu valor absoluto |x| (uma das regras acima mencionadas). Portanto, apenas se pode concluir que |x| = √a, ou, de outra forma, que x = ±√a.

Quando se pretende provar que a função raiz quadrada é contínua ou diferenciável, ou no cálculo de certos limites, a seguinte propriedade é de grande utilidade:

$\sqrt{x} - \sqrt{y} = \frac{x-y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$

Tal é válido para quaisquer x e y não negativos, sendo pelo menos um deles diferente de zero.

A função f(x) = √x tem o seguinte gráfico:

A função é contínua para todo o x não negativo, e diferenciável para todo o x positivo. (não é diferenciável para x = 0 uma vez que o declive da tangente à curva nesse ponto é +∞]]. A sua derivada é dada por

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}$

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