Produtos notáveis

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Nos cálculos algébricos alguns produtos aparecem com grande freqüência, devido à essa importância, certos produtos são chamados de Produtos Notáveis.

Os Produtos Notáveis mais comuns são:

Cubo da diferença de dois termos,
Cubo da soma de dois termos,
Produto da soma pela diferença de dois termos,
Quadrado da diferença de dois termos,
Quadrado da soma de dois termos,
Quadrado da soma de três termos,
Produto de Stevin,
Produto de Warring.

Índice

1 Cubo da diferença de dois termos
2 Cubo da soma de dois termos
3 Produto da soma pela diferença de dois termos
4 Quadrado da diferença de dois termos
5 Quadrado da soma de dois termos
6 Quadrado da soma de três termos
7 Produto de Stevin
8 Produto de Warring
9 Ligações externas

[editar] Cubo da diferença de dois termos

Considerando o produto notável $(x - y) 3$ , temos:

$(x - y) 3 = (x - y).(x - y) 2$ , resolvendo a potenciação pela propriedade distributiva:

$(x - y).(x - y) = x 2 - x y - x y + y 2 = x 2 - 2 x y + y 2$ , resolvendo as multiplicações pela propriedade distributiva:

$(x - y).(x 2 - 2 x y + y 2) = x 3 - 2 x 2 y + x y 2 - x 2 y + 2 x y 2 - y 3 = x 3 - 3 x 2 y + 3 x y 2 - y 3$ , polinômio reduzido:

$x 3 - 3 x 2 y + 3 x y 2 - y 3$ , logo:

$(x - y) 3 = x 3 - 3 x 2 y + 3 x y 2 - y 3$

Considerando o cubo da diferença de dois termos $(x - y) 3$ , temos como resultado o cubo do primeiro termo ( $x 3$ ), menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo ( $- 3 x 2 y$ ), mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo ( $+ 3 x y 2$ ), menos o cubo do segundo termo ( $- y 3$ ), formando: $x 3 - 3 x 2 y + 3 x y 2 - y 3$ .

Outros exemplos:

$(b - 2 c) 3 = b 3 - 6 b 2 c + 12 b c 2 - b 3$

$\left ( \frac{x}{y}-\frac{a}{b} \right )^3=\frac{x^3}{y^3}-\frac{3ax^2}{by^2}+\frac{3a^2x}{b^2y}-\frac{a^3}{b^3}$

[editar] Cubo da soma de dois termos

O cubo da soma de dois termos difere do cubo da diferença de dois termos apenas pelos sinais, veja: $(x + y) 3 = x 3 + 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3$

Outros exemplos:

$(m + 3 n) 3 = m 3 + 9 m 2 n + 27 m n 2 + 27 n 3$

$(x + 2) 3 = x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8$

[editar] Produto da soma pela diferença de dois termos

Considerando a expressão $(a + b).(a - b)$ , que representa o produto da soma de dois termos $(a + b)$ pela diferença dos mesmos $(a - b)$ , resolvendo pela propriedade distributiva:

$(a + b).(a - b) = a 2 - a b + a b - b 2 = a 2 - b 2$ , logo:

$(a + b).(a - b) = a 2 - b 2$ , sendo o produto da soma pela diferença de dois termos igual ao quadrado do primeiro termo ( $a 2$ ) menos o quadrado do segundo termo ( $- b 2$ ), formando: $a 2 - b 2$ .

Outros exemplos:

$(a 2 + b 3).(a 2 - b 3) = a 4 - b 6$

$\left( \frac{a}{x}-2 \right ).\left( \frac{a}{x}+2 \right )=\frac{a^2}{x^2}-4$

[editar] Quadrado da diferença de dois termos

A expressão $(x - y) 2$ representa o quadrado da diferença de dois termos, resolvendo a potenciação pela propriedade distributiva da multiplicação: $(x - y).(x - y) = x 2 - x y - x y + y 2 = x 2 - 2 x y + y 2$ , logo:

$(x - y) 2 = x 2 - 2 x y + y 2$ , sendo o quadrado da diferença de dois temos ( $(x - y) 2$ ) igual ao quadrado do primeiro termo ( $x 2$ ) menos duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo ( $- 2 x y$ ) mais o quadrado do segundo termo ( $y 2$ ).

Outros exemplos:

$\left( \frac{3m}{4n}-p \right )^2=\frac{9m^2}{16n^2}-\frac{6mp}{4n}+p^2$

$(1 - 2 x) 2 = 1 - 2 x + 4 x 2$

[editar] Quadrado da soma de dois termos

O quadrado da soma de dois termos difere do quadrado da diferença de dois termos apenas pelos sinais, veja: $(x + y) 2 = x 2 + 2 x y + y 2$ .

Outros exemplos:

$\left( \frac{4x}{5y}-z \right )^2=\frac{16x^2}{25y^2}-\frac{8xz}{5y}+z^2$

$(8 x + a) 2 = 64 x 2 + 16 a x + a 2$

[editar] Quadrado da soma de três termos

Considerando o produto notável $(a + b + c) 2$ , temos:

$(a + b + c) 2 = (a + b + c).(a + b + c)$

$(a + b + c) 2 = a 2 + a b + a c + b 2 + a b + b c + a c + b c + c 2$ , logo:

$(a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 a c + 2 b c$

Exemplos:

$(x + y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2 x y + 2 x z + 2 y z$

$(x - 2 y - 3) 2 = x 2 + ( - 2 y) 2 + ( - 3) 2 + 2 x ( - 2 y) + 2 x ( - 3) + 2( - 2 y)( - 3) = x 2 + 4 y 2 + 9 - 4 x y - 6 x + 12 y$

[editar] Produto de Stevin

Considerando o porduto notável $(x + a)(x + b)$ , temos:

$(x + a)(x + b) = x 2 + a x + b x + a b$

$(x + a)(x + b) = x 2 + (a + b) x + a b$

Exemplos:

$(x + 4)(x + 3) = x 2 + (4 + 3) x + 4.3 = x 2 + 7 x + 12$

$(x - 2)(x - 6) = x 2 + ( - 2 - 6) + ( - 2)( - 6) = x 2 - 8 x + 12$

$(x - 1)(x + 5) = x 2 + ( - 1 + 5) x + 5( - 1) = x 2 + 4 x - 5$

[editar] Produto de Warring

a) Considerando o produto notável $(a + b)(a 2 - a b + b 2)$ , temos:

$(a + b)(a 2 - a b + b 2) = a 3 - a 2 b + a b 2 + a 2 b - a b 2 + b 3 = a 3 + b 3$ , logo:

$(a + b)(a 2 - a b + b 2) = a 3 + b 3$

Exemplo:

$(x + 5)(x 2 - 5 x + 25) = x 3 + 5 3 = x 3 + 5 3$

b)Considerando o produto notável $(a - b)(a 2 + a b + b 2)$ , temos:

$(a - b)(a 2 + a b + b 2) = a 3 + a 2 b - a b 2 - a 2 b + a b 2 - b 3 = a 3 - b 3$ , logo:

$(a - b)(a 2 + a b + b 2) = a 3 - b 3$

Exemplo:

$(x - 3)(x 2 + 3 x + 9) = x 3 - 3 3 = x 3 - 27$

[editar] Ligações externas

Produtos Notáveis

Retirado de "http://pt.wikipedia.org../../../p/r/o/Produtos_not%C3%A1veis.html"

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Índice

[editar] Cubo da diferença de dois termos

[editar] Cubo da soma de dois termos

[editar] Produto da soma pela diferença de dois termos

[editar] Quadrado da diferença de dois termos

[editar] Quadrado da soma de dois termos

[editar] Quadrado da soma de três termos

[editar] Produto de Stevin

[editar] Produto de Warring

[editar] Ligações externas

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