Teorema da Incompletude de Gödel
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Teorema da incompletude de Gödel, às vezes também designado por teoremas da indecidibilidade, é o nome atribuído a dois teoremas demonstrados por Kurt Gödel:
- Teorema 1: "Se o conjunto axiomático de uma teoria é consistente, então nela existem teoremas que não podem ser demonstrados (ou negados)" e
- Teorema 2: "Não existe procedimento construtivo que demonstre que uma tal teoria seja consistente".
A primeira proposição indica que a "completude" de uma teoria axiomática não pode ser alcançada; a segunda diz que não há garantia de que não surjam eventuais inconsistências (não afirma que elas existam - apenas não se pode decidir). A consistência só poderia ser demonstrada a partir de uma teoria mais geral, a qual necessitaria de outra ainda mais ampla e assim por diante, ad infinitum.
Essas duas proposições, aparentemente simples, tiveram profunda repercussão no pensamento científico da época.
O resultado foi devastador para uma abordagem filosófica à matemática conhecida como Programa de Hilbert. David Hilbert propôs que a consistência de sistemas mais complexos, como análise real, poderiam ser provados em termos de sistemas mais simples. Assim, a consistência de toda a matemática seria reduzida à aritmética básica. O segundo teorema da incompletude de Gödel mostra que a aritmética básica não pode ser usada para provar sua própria consistência, portanto não pode ser usada para provar a consistência de nada mais forte.
[editar] Contexto histórico
No fim do século XIX a filosofia do conhecimento era considerada um bloco monolítico e muitos intelectuais da época consideravam que haveria pouca coisa fundamentalmente nova a ser descoberta. No Congresso Internacional de Matemática de Paris, em 1900, o jovem e genial David Hilbert, imbuído das idéias correntes, apresentou um surpreendente trabalho resumindo as 23 questões ainda "em aberto", as quais, após resolvidas, completariam todo o escopo da matemática.
Hilbert pretendia, como de fato foi parcialmente conseguido, desencadear um esforço geral da comunidade científica a fim de completar a fundamentação lógica da matemática. Nos poucos anos que se seguiram a maior parte das questões por ele propostas foram adequadamente resolvidas.
Em 1931, quando ainda vigorava a proposta de Hilbert de obter a completa construção da teoria matemática através da lógica formal, Gödel publicou o seu trabalho "Sobre as Proposições Indecidíveis", pondo fim a essa expectativa. Na Universidade de Princeton, o prestigiado Neumann, que trabalhava com afinco na proposta de Hilbert, imediatamente mergulhou nos trabalhos de Gödel, dando-lhe grande apoio.
Paralelamente, na Física, estava em pleno andamento o desenvolvimento a teoria quântica e quatro anos antes (1927) Heisenberg já divulgara seu "principio da incerteza", colocando um limite físico na experimentação microscópica direta. Foi mais um golpe nas hipóteses determinísticas da ciência.
Posteriormente, Church e Turing demonstraram que não há meios de provar se "uma proposição qualquer faz ou não parte de uma teoria".
Curiosamente, até 1963, nem Gödel nem qualquer outro matemático havia apresentado alguma proposição que ilustrasse os teoremas da indecidibilidade. Somente então o jovem Paul Cohen, de Stanford, desenvolveu uma técnica para teste de proposições indecidíveis. Cohen mostrou que a hipótese do continuum, justamente uma das questões fundamentais da matemática, era indecidível.
