Конечнопорождённая абелева группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В абстрактной алгебре, абелева группа $(\mathbb{G}, +)$ называется конечнопорождённой если существует конечный набор $x_1, ... , x_s \in \mathbb{G}$ , такой что $\forall x \in \mathbb{G}$ существует представление

x = n 1 x 1 + n 2 x 2 + ... + n s x s

где $n 1,..., n s$ - целые числа. В таком случае, говорится что ${x 1,..., x s}$ порождает множество $\mathbb{G}$ или что $x 1,..., x s$ порождают $\mathbb{G}$ .

Очевидно, каждая конечная абелева группа является конечно порождённой. Конечнопорожденные абелевы группы имеют сравнительно простую структуру и могут быть полностью классифицированы, как это будет далее показано.

[править] Примеры

Целые числа $(\mathbb{Z}, +)$ являются конечнопорожденной абелевой группой.
Числа по модулю $(\mathbb{Z}_n, +)$ являются конечнопорождённой абелевой группой
Любое прямое произведение конечного числа конечнопорождённых абелевых групп также является конечнопорождённой абелевой группой

Нет других конечнопорождённых групп. Группа $(\mathbb{Q},+)$ рациональных чисел не является конечнопорожденной: если $x_1, ... , x_s \in \mathbb{Q}$ , возьмём натуральное число $w$ взаимно простое ко всем их делителям; тогда $1 / w$ не может быть порождено $x_1, ... , x_s \in \mathbb{Q}$ .

[править] Классификация

Теорема о классификации конечнопорожденных абелевых групп утверждает что любая конечнопорождённая абелева группа $\mathbb{G}$ изоморфна прямому произведению простых циклических групп и бесконечных циклических групп, где простая циклическая группа это такая циклическая группа чей порядок является степенью простого числа. Что значит, что каждая такая группа изоморфна группе вида

$\mathbb{Z}^n \oplus \mathbb{Z}_{m_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{m_t}$

где $n \ge 0$ , и числа $m 1,..., m t$ являются (не обязательно различными) степенями простых чисел. Значения $n, m 1,..., m t$ однозначно определены (с точностью до порядка) группой $\mathbb{G}$ ; В частности, $\mathbb{G}$ конечна тогда и только тогда когда $n = 0$ .

На основании того факта что $\mathbb{G}_m$ будет изоморфно произведению $\mathbb{G}_j$ и $\mathbb{G}_k$ тогда и только тогда когда $j$ and $k$ взаимнопросты и $m = j k$ , мы также можем представить любую конечнопорождённую группу $\mathbb{G}$ в форме прямого произведения