Континуанта

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Континуантой индекса $n$ называется многочлен $K_n(x_1,\dots,x_n)$ , определяемый рекуррентным соотношением

$K_{-1}=0,\qquad K_0 = 1$

$K_n(x_1,\dots,x_n) = x_n K_{n-1}(x_1,\dots,x_{n-1}) + K_{n-2}(x_1,\dots,x_{n-2})$

Континуанта может быть также определена через определитель

$K_n(x_1,x_2,\dots,x_n)= \det \begin{pmatrix} x_1 & 1 & 0 &\cdots & 0 \\ -1 & x_2 & 1 & \ddots & \vdots\\ 0 & -1 & \ddots &\ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots &\ddots & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & -1 &x_n \end{pmatrix}$

[править] Свойства

Континуанты обладают зеркальной симметрией $K_n(x_1,\dots,x_n) = K_n(x_n,\dots,x_1)$
$K_n(1,\dots,1) = F_n$ , где $F n$ — число Фибоначчи.
Континуанта $K_n(x_1,\dots,x_n)$ есть сумма всех одночленов, начиная с произведения $x_1\cdot\dots\cdot x_n$ , полученных вычеркиванием всевозможных мономов и непересекающихся пар соседних переменных в этом одночлене.
Справедливо тождество

$\frac{K_n(x_1,\dots,x_n)}{K_{n-1}(x_2,\dots,x_n)} = x_1 + \frac{K_{n-2}(x_3,\dots,x_n)}{K_{n-1}(x_2,\dots,x_n)}$

В поле рациональных дробей

$\frac{K_n(x_1,\dots,x_n)}{K_{n-1}(x_2,\dots,x_n)} = [x_1;x_2,\dots,x_n] = x_1 + \frac{1}{x_2 + \frac{1}{x_3 + \cdots}}$ — цепная дробь.

Справедливо матричное соотношение

$\begin{pmatrix} K_n(x_1,\dots,x_n) & K_{n-1}(x_1,\dots,x_{n-1}) \\ K_{n-1}(x_2,\dots,x_n) & K_{n-2}(x_2,\dots,x_{n-1}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\times\dots\times\begin{pmatrix} x_n & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ .