Мера Жордана
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Мера Жордана — один из способов формализации понятия длины, площади и n-мерного обьёма в n-мерном евклидовом пространстве.
Содержание |
[править] Построение
Мера Жордана 
параллелепипеда ![\Delta=\prod_{i=1}^n [a_i,b_i]](../../../math/8/6/f/86f424fd15a207965200e99a17d6b89d.png)
в 
определяется как произведение 
Для ограниченного множества 
определяются: внешняя мера Жордана
и внутренняя мера Жордана
если 
здесь 
— параллелепипеды описанного выше вида.
Множество 
назывется измеримым по Жордану (квадрируемым при 
, кубируемым при 
), если 
. В этом случае мера Жордана равна 
.
[править] Свойства
- Мера Жордана инвариантна относительно движений евклидова пространства.
- Ограниченное множество измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его граница имеет меру Жордана нуль (или, что равносильно, когда его граница имеет меру Лебега нуль).
- Внешняя мера Жордана одна и та же для E и
(замыкания множества E) и равна мере Бореля . - Измеримые по Жордану множества образуют кольцо множеств, на котором мера Жордана конечно аддитивная функция.
[править] История
Приведённое понятие меры ввели Пеано (1887) и Жордан (1892). В последствии понятие было обобщено Лебегом на более широкий класс множеств.
[править] Литература
- Реanо G., Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale, Torino, 1887;
- Jordan C, «J. math, puresetappl.», 1892, t. 8, p. 69—99;
