Метризуемое пространство
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Метризуемое пространство — топологическое пространство, гомеоморфное некоторому метрическому пространству, иначе говоря, пространство, топология которого порождается некоторой метрикой.
Если такая метрика существует, то она не единственна — за исключением тривиальных случаев: когда пространство пусто или состоит из одной лишь точки. Например, топология каждого метризуемого пространства порождается некоторой ограниченной метрикой.
Содержание |
[править] Необходимые условия метризуемости
- В метризуемом пространстве выполняются сильные аксиомы отделимости: они нормальны и даже коллективно нормальны.
- Каждое метризуемое пространство паракомпактно.
- Все метризуемые пространства удовлетворяют первой аксиоме счётности.
- Для любого метризуемого пространства совпадают число Суслина, число Линделёфа, плотность, протяженность, вес.
[править] Достаточное условие метризуемости
Каждое нормальное пространство (и даже каждое регулярное пространство) со счётной базой метризуемо. (П. С. Урысон и А. Н. Тихонов)
[править] Эквивалентные условия метризуемости
Первый общий критерий метризуемости пространства был предложен в 1923 П. С. Александровым и П. С. Урысоном. На его основе были выработаны два следующих более совершенных критерия метризуемости:
- пространство метризуемо в том и только в том случае, когда оно коллективно нормально и обладает счётным измельчающимся множеством открытых покрытий;
- (критерий Стоуна — Архангельского) Пространство метризуемо, в том и только в том случае, когда оно обладает счётным фундаментальным множеством открытых покрытий и удовлетворяет T1-аксиоме отделимости . При этом множество открытых покрытий пространства X называется фундаментальным, если для каждой точки
, каждой ее окрестности Ux найдутся покрытие 
и окрестность Ox точки x такие, что каждый элемент покрытия , пересекающийся с Ox, содержится в Ux.
На другой важной концепции — локальной конечности — основаны общие метризационные критерии.
- Критерий Нагаты — Смирнова: пространство X метризуемо в том и только в том случае, если оно регулярно и обладает базой, распадающейся на счетное множество локально конечных семейств множеств.
Критерий Бинга аналогичен, но в нем вместо локально конечных фигурируют дискретные семейства множеств. Удобные варианты приведенных выше основных критериев метризуемости связаны с понятиями равномерной базы и регулярной базы. База 
пространства X называется регулярной (равномерной), если для всякой точки и любой ее окрестности Ox найдется окрестность Ux этой точки такая, что число элементов базы , пересекающих одновременно Ux и дополнение к Ox, конечно (соответственно, если множество элементов 
таких что 
, 
конечно).
- Пространство X метризуемо тогда и только тогда, когда оно коллективно нормально и обладает равномерной базой.
- Для метризуемости T1-пространства необходимо и достаточно, чтобы оно обладало регулярной базой.
[править] Частные случаи
Метризационные критерии достигают простоты в ряде специальных классов пространств. Так, для метризуемости компакта X любое из следующих трёх условий необходимо и достаточно:
- X обладает счетной базой;
- X обладает точечно-счетной базой;
- в X есть счётная сеть;
Для метризуемости пространства топологической группы необходимо и достаточно, чтобы в последнем выполнялась первая аксиома счётности — причем тогда пространство метризуемо инвариантной метрикой (например, по отношению к умножению слева).
[править] О полноте
Не всякое метризуемое пространство метризуемо полной метрикой; таково, например, пространство рациональных чисел. Пространство метризуемо полной метрикой в том и только в том случае, если оно метризуемо и является множеством типа Gδ в некотором содержащем его компакте. Важным топологическим свойством пространств, метризуемых полной метрикой, является свойство Бэра: пересечение любого счетного семейства всюду плотных открытых множеств всюду плотно.
[править] Вариации и обобщения
К метризуемым пространствам наиболее близки по свойствам моровские пространства — вполне регулярные пространства, обладающие счетным измельчающимся семейством открытых покрытий, и кружевные пространства.
Широкий спектр обобщений концепции метризуемого пространства получается, если варьировать аксиомы метрики, ослабляя их в том или ином отношении и рассматривая порожденные такими «метриками» топологии. На этом пути получаются симметризуемые пространства — путем отказа от аксиомы неравенства треугольника. В эту схему укладываются и моровские пространства. Другое важное обобщение концепции метризуемости связано с рассмотрением «метрик» со значениями в полуполях и других алгебраических образованиях общей природы.
