Оператор набла

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Опера́тор на́бла (оператор Гамильтона) — векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом $\nabla$ (набла) (в Юникоде U+2207, ∇).

Под этим оператором подразумевается вектор с компонентами ${\partial\over\partial x_1},\;{\partial\over\partial x_2},\;\ldots,\;{\partial\over\partial x_n}$ в $n$ -мерном пространстве.

Для трёхмерного декартового пространства оператор набла определяется следующим образом

$\nabla={\partial\over\partial x}\vec{i}+{\partial\over\partial y}\vec{j}+{\partial\over\partial z}\vec{k}$

[править] Свойства оператора набла

Этот вектор приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, на которую он умножается.

Если умножить вектор $\nabla$ на скаляр $φ$ , то получится вектор

$\nabla\phi={\partial\phi\over\partial x}\vec{i}+{\partial\phi\over\partial y}\vec{j}+{\partial\phi\over\partial z}\vec{k}$ , который представляет собой градиент функции

φ

Если вектор $\nabla$ скалярно умножить на вектор $\vec{a}$ , получится скаляр

$\nabla\vec{a} = \nabla_xa_x+\nabla_ya_y+\nabla_za_z={\partial a_x\over\partial x}+{\partial a_y\over\partial y}+{\partial a_z\over\partial z}$ , то есть дивергенция вектора $\vec{a}$ .

Если $\nabla$ умножить на $\vec{a}$ векторно, то получится ротор вектора $\vec{a}$ .

Также, произведение $\nabla\nabla=\nabla^2$ есть оператор Лапласа, и обозначается $Δ$ . В декартовых координатах оператор Лапласа определяется следующим образом:

$\Delta={\partial^2\over\partial x^2}+{\partial^2\over\partial y^2}+{\partial^2\over\partial z^2}$ .

Поскольку оператор набла является дифференциальным оператором, то при преобразовании выражений необходимо учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференцирования. Например:

$\operatorname{grad}(\phi\psi)=\nabla(\phi\psi)=\psi\nabla\phi+\phi\nabla\psi=\psi\operatorname{grad}\phi+\phi\operatorname{grad}\psi$

$\operatorname{div}(\operatorname{grad}\phi)=\nabla(\nabla\phi)=(\nabla\nabla)\phi=\Delta\phi$

Категория: Векторный анализ

Оператор набла

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

[править] Свойства оператора набла

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках