Полная решётка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Полная решётка — частично упорядоченное множество, в котором всякое непустое подмножество $A$ имеет точную верхнюю и нижнюю грань, называемые обычно объединением и пересечением элементов подмножества $A$ и обозначаемые $\vee_{a_{\alpha} \in A} a_{\alpha}$ и $\land_{a_{\alpha} \in A} a_{\alpha}$ (или просто $\vee A$ и $\land A$ ) соответственно.

Если частично упорядоченное множество имеет наибольший элемент и каждое его непустое подмножество обладает точной нижней гранью, то оно является полной решёткой. Решётка $L$ тогда и только тогда является полной, когда для любого изотонного отображения $φ$ этой решётки в себя существует неподвижная точка, т. е. такой элемент $a \in L$ , что $a φ = a$ . Если $P (M)$ — упорядоченное включением множество подмножеств множества $M$ и $φ$ — отношение замыкания на $P (M)$ , то совокупность всех $φ$ -замкнутых подмножеств является полной решёткой. Всякое частично упорядоченное множество P можно изоморфно вложить в полную решетку, которая в этом случае называется пополнением множества множества $P$ . Пополнение сечениями является наименьшим из всех пополнений данного частично упорядоченного множества. Полные решётки образуют множество всех подалгебр универсальной алгебры, множество всех конгруэнций универсальной алгебры, множество всех замкнутых подмножеств топологического пространства.