Пространство состояний (теория управления)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Пространство состояний — в теории управления один из основных методов описания поведения динамической системы. Движение системы в пространстве состояний отражает изменение его состояний.

Содержание

1 Определение
2 Примеры
- 2.1 Модель в пространстве состояний для маятника
3 См. также
4 Внешние ссылки

[править] Определение

В пространстве состояний создаётся модель динамической системы, включающая набор переменных входа, выхода и состояния, связанных между собой дифференциальными уравнениями первого порядка, которые записываются в матричной форме. В отличие от описания в виде передаточной функции и других методов частотной области, пространство состояний позволяет работать не только с линейными системами и нулевыми начальными условиями. Кроме того, в пространстве состояний относительно просто работать с MIMO-системами.

[править] Линейные непрерывные системы

Для случая линейной системы с $p \!$ входами, $q \!$ выходами и $n$ переменными состояния описание имеет вид:

$\dot{\mathbf{x}}(t) = A(t) \mathbf{x}(t) + B(t) \mathbf{u}(t)$

$\mathbf{y}(t) = C(t) \mathbf{x}(t) + D(t) \mathbf{u}(t)$

где

$x(t) \in \mathbb{R}^n$ ; $y(t) \in \mathbb{R}^q$ ; $u(t) \in \mathbb{R}^p$ ;

$\operatorname{dim}[A(\cdot)] = n \times n$ , $\operatorname{dim}[B(\cdot)] = n \times p$ , $\operatorname{dim}[C(\cdot)] = q \times n$ , $\operatorname{dim}[D(\cdot)] = q \times p$ , $\dot{\mathbf{x}}(t) := {d\mathbf{x}(t) \over dt}$ .

$x(\cdot)$ — вектор состояния, элементы которого называются состояниями системы $y(\cdot)$ — вектор выхода, $u(\cdot)$ вектор управления, $A(\cdot)$ — матрица системы, $B(\cdot)$ матрица управления, $C(\cdot)$ матрица выхода и $D(\cdot)$ матрица прямой связи. Часто матрица $D(\cdot)$ является нулевой, это означает, что в системе нет явной прямой связи.

[править] Дискретные системы

Для дискретных систем запись уравнений в пространстве состояний основывается не на дифференциальных, а на разностных уравнениях.

$\mathbf{x}(nT + 1) = A(nT) \mathbf{x}(nT) + B(nT) \mathbf{u}(nT)$

$\mathbf{y}(nT) = C(nT) \mathbf{x}(nT) + D(nT) \mathbf{u}(nT)$

[править] Нелинейные системы

Более общая форма для нелинейных систем выглядит следующим образом:

$\mathbf{\dot{x}}(t) = \mathbf{f}(t, x(t), u(t))$

$\mathbf{y}(t) = \mathbf{h}(t, x(t), u(t))$

Первое уравнение — это уравнение состояния, второе — уравнение выхода. Если функция $f(\cdot,\cdot,\cdot)$ является линейной комбинацией переменных состояния и входа, тогда уравнения могут быть записаны в матричном виде.

[править] Примеры

[править] Модель в пространстве состояний для маятника

Маятник является классической свободной нелинейной системой. Математически движение маятника описывается следующим соотношением:

$ml\ddot\theta(t)= -mg\sin\theta(t) - kl\dot\theta(t) \!$

где

$\theta(t) \!$ — угол отклонения маятника.
$m \!$ — приведённая масса мятника
$g \!$ — ускорение свободного падения
$k \!$ — коэффициент трения в подшипнике подвеса
$l \!$ — длина подвеса маятника

В таком случае уравнения в пространстве состояний будут иметь вид:

$\dot{x_1}(t) = x_2(t)$

$\dot{x_2}(t) = - \frac{g}{l}\sin{x_1}(t) - \frac{k}{m}{x_2}(t)$

где

$x_1(t):=\theta(t) \!$ — угол отклонения маятника
$x_2(t) :=\dot{x_1}(t)$ — угловая скорость маятника
$\dot{x_2} =\ddot{x_1}$ — угловое ускорение маятника

Запись уравнений состояния в общем виде:

$\dot{x}(t) = \left( \begin{matrix} \dot{x_1}(t) \\ \dot{x_2}(t) \end{matrix} \right) = \mathbf{f}(t, x(t)) = \left( \begin{matrix} x_2(t) \\ - \frac{g}{l}\sin{x_1}(t) - \frac{k}{m}{x_2}(t) \end{matrix} \right)$