Связное двоеточие
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Свя́зное двоето́чие, или двоеточие Александрова — наиболее простой содержательный пример нехаусдорфова топологического пространства в общей топологии.
[править] Определение
Связным двоеточием называется множество из двух элементов ○ («открыто») и ● («замкнуто»), топология на котором задана следующим перечнем трёх открытых подмножеств:
- ∅ — пустое множество;
- {○} — множество из одного элемента «открыто»;
- {○,●} — всё пространство.
[править] Описание
Помимо пустого множества и всего двоеточия, его открытым подмножеством является только {○}, а замкнутым — только {●}. Мы видим, что точка ● не имеет окрестностей кроме всего пространства, следовательно пространство не является хаусдорфовым (нарушает аксиому T1). Также мы видим что точка ○ не является замкнутым подмножеством.
[править] Свойства
Отображение F из топологического пространства X в связное двоеточие является непрерывным тогда и только тогда, когда прообраз 
точки ○ открыт в X (или, что то же самое, прообраз 
точки ● замкнут в X). Данное свойство обосновывает названия точек связного двоеточия.
