Факторион

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Факторион — такое натуральное число, которое равно сумме факториалов своих цифр.

Содержание

1 Полный список факторионов
2 Верхняя граница
3 Обобщения
4 Литература
5 Внешние ссылки

[править] Полный список факторионов

1 $= 1!$
2 $= 2!$
145 $= 1! + 4! + 5!$
40585 $= 4! + 0! + 5! + 8! + 5!$

[править] Верхняя граница

Определив верхнюю границу для факторионов, несложно (например, полным перебором) показать, что существует ровно 4 таких числа.

Любое n-значное число не меньше $\;10^{n-1}$ . Однако при этом сумма факториалов его цифр не больше $9!\cdot n$ , где $\;9!=362880$ . Так как первое число возрастает быстрее второго (первое зависит от n экспоненциально, а второе — линейно), а уже $10^{8-1}=10000000>9!\cdot 8=2903040$ . Следовательно все факторионы состоят из не более, чем 7 цифр. Даже точнее — они меньше $7\cdot 9!=2540160$ .

Аналогичные рассуждения помогают доказать конечность числа многих обобщенных факторионов (см. ниже).

[править] Обобщения

[править] В других системах счисления

Таблица факторионов в системах счисления вплоть до 16-ичной:

Основание	Максимальное кол-во цифр	Факторионы
2	2	1, 10
3	2	1, 2
4	3	1, 2, 13
5	3	1, 2, 144
6	4	1, 2, 41, 42
7	5	1, 2
8	5	1, 2
9	6	1, 2, 62558
10	7	1, 2, 145, 40585
11	8	1, 2, 24, 44, 28453
12	8	1, 2
13	9	1, 2, 83790C5B
14	10	1, 2, 8B0DD409C
15	11	1, 2, 661, 662
16	11	1, 2, 260F3B66BF9

[править] k-факторионы

k-факторион — число, равное сумме факториалов своих цифр, умноженной на k. Тогда обычные — 1-факторионы.

Полные списки k-факторионов:

k=2: 817926
k=3: 138267, 1103790
k=4: 12, 32, 104, 23076
k=5: 10

[править] Обобщения Пиковера

В своей книге «Keys to Infinity» Clifford A. Pickover (1995) предложил следующие обобщения:

Факторион первого рода - равен произведению факториалов своих цифр.
Факторион второго рода - при сложении факториалов можно разбивать не только на цифры, но и на подчисла.

Оба определения порождают гораздо бо́льшие числа, чем обычное определение. Хотя факторионы первого рода в десятичной системе только вырожденные - 1 и 2 (в других системах на сайте [1] есть впечатляющие примеры), найдено несколько факторионов второго рода (жирным выделены единственные группировки цифр):

2.432.902.008.177.819.519
51.090.942.171.710.544.079 и 51.090.942.171.710.982.398
403.291.461.126.605.635.584.809.043 и 403.291.461.126.605.635.584.814.796

Для обобщений обоих типов неизвестно, конечно ли число соответствующих факторионов.

[править] Литература

Gardner, M. «Factorial Oddities.» Ch. 4 in Mathematical Magic Show: More Puzzles, Games, Diversions, Illusions and Other Mathematical Sleight-of-Mind from Scientific American. New York: Vintage, pp. 61 and 64, 1978.
Madachy, J. S. Madachy’s Mathematical Recreations. New York: Dover, p. 167, 1979.
Pickover, C. A. «The Loneliness of the Factorions.» Ch. 22 in Keys to Infinity. New York: W. H. Freeman, pp. 169—171 and 319—320, 1995.