Prava i ravan

From Wikipedia

Tačka, prava i ravan su osnovni pojmovi geometrije. Neka su prava i ravan skupovi tačaka. Oni se ne definišu i njihove osobine daju se aksiomima.

Sadržaj/Садржај

1 Aksiomi prave
2 Presjek dvije prave
3 Kolinearne i nekolinearne tačke
4 Posljedice
5 Paralelne i mimoilazne prave
- 5.1 Udaljenost paralelnih pravi
- 5.2 Udaljenost mimoilaznih pravi
6 Aksiom uređenosti prave
- 6.1 Dedekindov aksiom
7 Ravan
8 Teoreme o određenosti ravni
9 Aksiom dviju ravni
10 Međusobni položaj prave i ravni

[uredi - уреди] Aksiomi prave

Svake dvije različite tačke pripadaju jednoj i samo jednoj pravoj
Svaka prava sadrži najmanje dvije zajedničke tačke.
Postoje tri nekolinearne tačke

Dvije tačke su uvijek kolinearne

[uredi - уреди] Presjek dvije prave

Za dvije prave koje imaju jednu zajedničku tačku kažemo da se sijeku. Zajednička tačka te dvije prave naziva se sjecište ili presječna tačka. a ∩ b={C}

[uredi - уреди] Kolinearne i nekolinearne tačke

Za tačke koje leže na jednoj pravoj kažemo da su kolinearne tačke. Za tri tačke koje ne leže na jednoj pravoj kažemo da su nekolinearne. Postoje tri nekolinearne tačke

[uredi - уреди] Posljedice

Dvije različite prave imaju najviše jednu zajedničku tačku

Van svake dvije prave postoji bar jedna tačka.

[uredi - уреди] Paralelne i mimoilazne prave

Za dvije prave koje leže u jednoj ravni i nemaju zajedničkih tačaka kažemo da su paralelne. Za prave koje ne leže u jednoj ravni kažemo da su mimoilazne. Za dvije prave a i b važi:

Ako je a ∩ b={A,B}=> a=b
Ako je a ∩ b={A} sijeku se
Ako a i b nemaju zajedničkih tačaka a ║ b

[uredi - уреди] Udaljenost paralelnih pravi

Neka je data tačka M jedne prave i njena projekcije M' na drugu pravu Traži se njena projekcija

$M' = B + k\overrightarrow{v}, k \in R\;\land\; AA' \bot v$ .

Iz navedenih uslova određujemo koeficijent k, а sа njime određeno je i M'. Udaljenost tačaka M i M' je јеdnaka udaljenosti između paralelnih pravi a i b.

U trodimenzionalnom prostoru ova udaljenost je jednaka visini paralelograma kojeg čine vektori $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{v}$ . , a dobije se kao količnik površine ovog paralelograma (intenzitet vektorskog proizvoda) i intenzitet vektora v.
$d(a,b) = \frac{|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{v}|}$

[uredi - уреди] Udaljenost mimoilaznih pravi

Da bi se odredila udaljenost dvije mimoilazne prave treba predstaviti vektor između njih, a zatim da se odrede parametri za koje će on biti minimalan. Neka je ovaj vektor w, a opšte tačke pravih a i b su M i N.odnosno biće:

$M = A + \alpha v = (A_1+\alpha v_1, A_2+\alpha v_2,...,A_n+ \alpha v_n), \alpha \in R$ $N = B + \beta u, \beta \in R$

intenzitet vektora $\overrightarrow{AB}$ je $|\overrightarrow{AB}| = f(\alpha,\beta) = \sqrt{(A_1+\alpha v_1- B_1-\beta u_1)^2 + \dots + (A_n+\alpha v_n- B_n-\beta u_n)^2 }$ . Ovdje korijen ne utiče na vrijednost na koju parametri i α i β imaju za maximalnu vrijednost izraza korijen se može izbaciti. Sada ćemo odrediti prve izvode izraza $f (α,β)$ pо α i po β. Dobijamo sistem dvije jednačine sa dvije nepoznate α i β, koji možemo riješiti.

$\begin{cases} f(\alpha,\beta)'_\alpha \\ f(\alpha,\beta)'_\beta \end{cases}$

Određujemo α и β i vrijednosti uvrstimo u jednačine prave a i b, Ove koordinate će predstavljati tačke, nazovimo ih $M 0$ i $N 0$ , $d (a, b) = d (M 0, N 0)$ .

[uredi - уреди] Aksiom uređenosti prave

Prava je na određen način uređen skup

Za tačke X,Y prave a važi X <Y ili Y<X (potpunost)
Ako je X <Y onda nije Y<X (antisimetričnost)
Ako je (X<Y) i( Y<Z) =>X<Z (tranzitivnost)
Za tačku Y prave a postoje tačke X i Z na a tako da je X<Y i Y<Z( produžavanje prave)
Za X i Z prave a postoji tačka Y takva da je X <Y( gusto uređen skup)

[uredi - уреди] Dedekindov aksiom

Ako sve tačke prave podijelimo u dvije neprazne klase tako da je svaka klasa prve klase ispred svake tačke druge klase onda ili prva klasa ima svoju poslednju ili druga klasa svoju prvu tačku