Ťažisko (fyzika)

Z Wikipédie

Ťažisko alebo hmotný stred sústavy je bod, ktorý sa pohybuje, ako keby v ňom bola sústredená celá hmotnosť sústavy a pôsobili v ňom všetky sily pôsobiace na sústavu. V homogénnom gravitačnom alebo zotrvačnom poli môžeme všetky gravitačné a zotrvačné sily pôsobiace na tuhé teleso nahradiť jedinou silou pôsobiacou v ťažisku.

[úprava] Definícia

Ťažisko $\vec{T}$ sústavy hmotných bodov je definované ako vážený priemer ich polôh $\vec{r_i}$ , kde váhami sú ich hmotnosti.

$\vec{T} = \frac{\sum m_i \vec{r_i}}{M}$

Kde $M = \sum m_i$ je celková hmotnosť sústavy.

[úprava] Vlastnosti

[úprava] Ťažisko zjednotenia niekoľkých sústav

Ak máme n sústav hmotných bodov s celkovými hmotnosťami $M_1, M_2, \dots, M_n$ a s ťažiskami $\vec{T_1}, \vec{T_2}, \dots, \vec{T_n}$ , výsledné ťažisko zjednotenia týchto sústav má rovnakú polohu, ako poloha ťažiska sústavy n hmotných bodov nachádzajúcich sa v ťažiskách jednotlivých sústav majúcich hmotnosti zodpovedajúce celkovým hmotnostiam sústav. Táto dôležitá vlastnosť ťažiska plynie z vlastností váženého aritmetického priemeru a pomáha nám určiť polohy ťažísk zložitejších telies.

[úprava] Pohyb ťažiska

Poloha ťažiska spĺňa rovnicu:

$\vec{T} = \frac{\sum m_i \vec{r_i}}{M}$

Derivovaním oboch strán rovnice podľa času dostávame:

$\vec{v} = \frac{\sum m_i \vec{v_i}}{M}$

$\vec{a} = \frac{\sum m_i \vec{a_i}}{M}$

S využitím odvodených rovníc je možné odvodiť, že ťažisko sústavy sa pohybuje, ako keby v ňom bola sústredená celá hmotnosť sústavy a pôsobili v ňom všetky sily pôsobiace na sústavu. Odvodenie nájdete v článku o sile.

Kde $\vec{v_i}, \vec{a_i}$ sú rýchlosti a zrýchlenia jednotlivých bodov a $\vec{v}, \vec{a}$ je rýchlosť a zrýchlenie ťažiska.

[úprava] Pôsobisko gravitačnej a zotrvačnej sily v homogénnom poli

Na všetky body telesa pôsobia gravitačná aj zotrvačná sila v rovnakom smere a ich veľkosť je úmerná hmotnosti daného bodu. Jedná sa teda o skladanie rovnobežných síl a pôsobisko výslednice dostaneme v bode:

$\vec{R} = \frac{\sum \vec{F_i} \vec{r_i}}{\vec{F}}$

Kde $\vec{F} = \sum \vec{F_i}$ . Keďže sú však sily pôsobiace na jednotlivé elementy tuhého telesa úmerné ich hmotnostiam, prejde rovnica do tvaru:

$\vec{R} = \frac{\sum m_i \vec{r_i}}{M}$

Čo je rovnica ťažiska. V homogénnom poli môžeme gravitačné a zotrvačné sily pôsobiace na jednotlivé elementy tuhého telesa nahradiť jednou silou, ktorej veľkosť bude úmerná celkovej hmotnosti telesa a pôsobisko bude mať v ťažisku.

Zdroj: "http://sk.wikipedia.org../../../%C5%A5/a/%C5%BE/%C5%A4a%C5%BEisko_%28fyzika%29.html"

Kategória: Mechanika