Nepriamy dôkaz

Z Wikipédie

Nepriamy dôkaz je apagogický dôkaz, dôkaz neplatnosti opaku, konečná postupnosť správnych krokov, z ktorých každý vyplýva z predchádzajúcich, pričom prvým krokom je negácia záveru tvrdenia a výsledkom posledného kroku je negácia predpokladu alebo iného platného tvrdenia. Ináč povedané, nepriamy dôkaz spočíva v tom, že dokážeme, že ak by dokazované tvrdenie neplatilo, viedlo by to k sporu.

[úprava] Príklad

Ako príklad dokážeme, že nie je racionálne číslo. Dokazujeme nepriamo. Predpokladáme, že je racionálne číslo. To znamená, že existujú celé čísla p a q také, že

pričom q je rôzne od nuly a p a q sú nesúdeliteľné.

Umocnením oboch strán rovnice na druhú dostaneme, že p² / q² = 2. Z nenulovosti q vyplýva p² = 2q², teda číslo p² je párne. Keďže p² je štvorec, znamená to, že aj samo p je párne a možno ho teda vyjadriť v tvare p = 2m kde m je nejaké celé číslo. Keď posledný vzťah skombinujeme so vzťahom p² = 2q² zistíme, že 2m² = q², čo znamená, že aj q² je párne číslo. Znovu, keďže q² je štvorec, znamená to, že aj q je párne.

Takto sme dokázali, že p aj q sú párne čísla a teda číslo 2 je ich spoločným deliteľom. Ale to je spor s predpokladom, že p a q sú nesúdeliteľné.

[úprava] Externé odkazy

• FILIT Zdroj, z ktorého pôvodne čerpal tento článok