Pás (algebra)

Z Wikipédie

Pás je pologrupa, ktorej operácia je idempotentná. To znamená, že pre každý prvok $a$ pásu platí

$a\cdot a=a$ .

Pojem pásu nachádza dôležité uplatnenie v rôznych matematických odvetviach, najmä však v teoretickej počítačovej vede.

Obsah

1 Jednoduché príklady
2 Špeciálne triedy pásov
3 Zväz variet pásov
4 Referencie

[úprava] Jednoduché príklady

Ľubovoľný zväz tvorí pás vzhľadom ku obidvom svojim zväzovým operáciám. Napríklad množina reálnych čísel spolu s operáciou, ktorá každej dvojici čísel priradí to väčšie z nich, je pás. Ale tá istá množina tvorí pás aj vzhľadom k operácii, ktorá každej dvojici čísel priradí to menšie z nich.
Nech $a$ je ľubovoľné, ale pevne zvolené číslo z jednotkového intervalu $[0,1]$ . Jednotkový interval tvorí pás vzhľadom k binárnej operácii

$x\cdot y = \min\{\max\{x,y\},\max\{a,\min\{x,y\}\}\}$

Ľubovoľná množina spolu s operáciou ľavej alebo pravej projekcie tvorí pás.

[úprava] Špeciálne triedy pásov

[úprava] Polozväzy

Každý komutatívny pás je polozväz (v algebrickom zmysle slova) a naopak.

[úprava] Štvoruholníkové, pravo-nulové a ľavo-nulové pásy

Štvoruholníkový pás je pás, v ktorom pre každé tri prvky $x, y, z$ platí

$x\cdot y\cdot z = x\cdot z$

Tejto vlastnosti sa niekedy hovorí štvoruholníková vlastnosť.

Napríklad pre dané ľubovolné neprázdne množiny I a J možno definovať pologrupovú operáciu na $I \times J$ predpisom

$(i, j) \cdot (k, l) = (i, l)$

Výsledná pologrupa je štvoruholníkový pás, lebo

pre každý pár (i,j) máme $(i, j) \cdot (i, j) = (i,j)$
pre každé 3 páry $\big (i_x, j_x), (i_y, j_y), (i_z, j_z)$ máme

$(i_x, j_x) \cdot (i_y, j_y) \cdot (i_z, j_z) = (i_x, j_z) = (i_x, j_x) \cdot (i_z, j_z)$

Ľavo-nulový pás je pás splňujúci xy = y. Symetricky pravo-nulový pás splňuje xy = x. V určitých pravo-nulových a ľavo-nulových pásoch sú štvoruholníkové pásy a fakticky každý štvoruholníkový pás je izomorfný k direktnému súčinu ľavo-nulového pásu a pravo-nulového pásu.

[úprava] Regulárne pásy

Regulárny pás je pás, v ktorom pre každé tri prvky $x, y, z$ platí

$x\cdot y\cdot x\cdot z\cdot x = x\cdot y\cdot z\cdot x$

[úprava] Zväz variet pásov

Zväz variet pásov je spočítateľný. Vyplýva to z toho, že každá equacionálna trieda pásov je určená konečným počtom identít. Variety polozväzov, pravo-nulových a ľavo-nulových pásov predstavujú tri netriviálne minimálne prvky tohoto zväzu.

[úprava] Referencie

A. Nagy, Special Classes of Semigroups, 2001 Springer ISBN 0792368908

Zdroj: "http://sk.wikipedia.org../../../p/%C3%A1/s/P%C3%A1s_%28algebra%29.html"

Kategórie: Abstraktná algebra | Teória pologrúp