Pravdepodobnosť
Z Wikipédie
Pravdepodobnosť (hovorovo šanca; značka je P z anglického probability) je hodnota vyčísľujúca istotu resp. neistotu výskytu určitej udalosti. Skúma ju teória pravdepodobnosti. Pravdepodobnostnú hodnotu nadobúdajú náhodné premenné.
Obsah |
[úprava] Definície
Pravdepodobnosť má viaceré takmer ekvivalentné definície. Hlavnými sú:
[úprava] a) Klasická definícia (Pierre Simone de Laplace)
Pravdepodobnosť = Počet relevantných prípadov / Počet všetkých možných prípadov. Inými slovami: Podiel počtu situácií, v ktorých sa stane to čo nás zaujíma, na súčte počtu situácií, v ktorých sa stane to čo nás zaujíma, a počtu situácií, v ktorých sa nestane to čo nás zaujíma.
[úprava] Príklad
Otázka: „Aká je pravdepodobnosť, že konkrétneho človeka v Bratislave v daný deň zrazí auto?“ (inými slovami: „Aký je očakávaný podiel počtu zrazených ľudí (za deň) na všetkých ľuďoch prítomných v Bratislave?“)
Riešenie:
- Počet relevantných = počet zrazených ľudí v Bratislave za deň (napríklad priemer podľa historických záznamov polície, čísla pozri b) = 97,25
- Počet všetkých možných prípadov = počet ľudí prítomných v Bratislave (napríklad priemerný počet obyvateľov + počet turistov + počet ľudí dochádzajúcich za prácou podľa historických záznamov, čísla pozri b) = 507 250
Výsledok:
- P = 97,25 / 507250 = 0,000192 (čiže 0.0192%)
[úprava] b) Štatistická definícia (Richard von Mises)
Táto definícia je vlastne len akési upresnenie klasickej definície.
Pravdepodobnosť = číslo (presnejšia limita), ku ktorému sa pri mnohonásobnom opakovaní „pokusu“ blíži relatívna frekvencia javu (t. j. pomer počet relevantných prípadov / počet všetkých možných prípadov)
[úprava] Príklad
Otázka: „Aká je pravdepodobnosť, že v Bratislave za deň niekoho zrazí auto?“
Riešenie: Urobíme nasledujúci „výpočet“ (v ideálnom prípade pre veľmi veľa dní) so zadanými údajmi o počte havárií a Bratislavčanov:
| Deň | Počet zrazených ľudí | Počet ľudí v Bratislave | Relatívna frekvencia |
| dnes | 85 | 490000 | 85/490000 = 0,0173 % |
| včera | 96 | 510000 | 96/510000 = 0,0188 % |
| predvčerom | 105 | 530000 | 105/500000 = 0,021 % |
| predpredvčerom | 103 | 499000 | 103/499000 = 0,0206 % |
| . . . |
Výsledok:
Teraz by sme mali teoreticky podľa tejto tabuľky vypočítať (alebo nakresliť graf „relatívna frekvencia -- počet ľudí v Bratislave“ a v ňom nájsť) číslo, ku ktorému sa blíži relatívna frekvencia.
Zjednodušene sa však väčšinou jednoducho počíta tzv. priemerná relatívna frekvencia, čiže:
- P = (85 + 96 + 105 + 103) / (490000 + 510000 + 530000 + 499000) = 0,000192 (čiže 0,0192%)
K číslu 0,0192 % by sme dospeli, aj keby sme počítali P = priemer počtu zrazených ľudí / priemer počtu ľudí v Bratislave, a to je vlastne klasická definícia pravdepodobnosti.
[úprava] c) Pravdepodobnosť ako miera dôvery (Thomas Bayes)
Táto, na prvý pohľad veľmi nevedecká, definícia hovorí, že pravdepodobnosť je číslo medzi 0 a 1, ktoré je mierou pre našu vieru v realizáciu nejakého javu alebo (a to je dôležitý dodatok) viera v pravdivosť nejakého tvrdenia. Pod realizáciou javu tu môžeme mať na mysli napríklad výhru domácich vo futbale, pod pravdivosťou nejakého tvrdenia zase pravdepodobnosť, že hmotnosť Saturnu sa nachádza v nejakom dopredu zvolenom intervale. Zvlášť druhá spomínaná možnosť je pri fyzikálnom výskum častá (experimentálne hľadáme hodnoty rôznych konštánt, hmotnosti elementárnych častíc, atď.), no z frekvencionistického pohľadu nemá žiadny zmysel. So Saturnom totiž nemôžeme urobiť viac pokusov - jeho hmotnosť je daná a v danom intervale buď leží alebo neleží - problém je iba v tom, že my nepoznáme odpoveď.
Pri racionálne rozmýšľajúcom človeku sa miera dôvery priradzovanej rôznym udalostiam riadi obvyklými pravidlami pre pravdepodobnosť istej udalosti, realizácie dvoch nezávislých udalostí a podobne.
[úprava] d) Axiomatická definícia (Andrej Nikolajevič Kolmogorov)
Pravdepodobnosť P(A) náhodnej udalosti A je v tomto prípade reálna funkcia, ktorá každej náhodnej udalosti A priradí určité číslo P(A), pričom platia tieto axiómy:
- P(A)≥0
- P(E)=1, ak E je istá udalosť
- Ak A1, A2, ..., An, ... je postupnosť disjunktných náhodných udalostí (nemôžu súčasne nastať). Pravdepodobnosť, že aspoň jedna z nich pri náhodnom pokuse nastane, sa vtedy rovná súčtu ich pravdepodobností:
P(A1 U A2 U ... U An U ... ) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An) + ...
Pravdepodobnosť je tu definovaná pomocou niekoľkých axióm ako objektívna vlastnosť náhodnej udalosti. Táto definícia však nedáva jednoznačný návod na jej výpočet.
[úprava] Vlastnosti
- P leží vždy medzi 0 a 1 (resp. vyjadrené v percentách: medzi 0% a 100%)
- P javu nemožného je 0 (0%), P javu istého je 1 (100%)
- Súčet jednotlivých P všetkých možných prípadov je 1 (100%)
- P že nastane len A, alebo len B, alebo A aj B súčasne = P že nastane A + P že nastane B - P že nastane A aj B súčasne
