Тејлорова формула

Из пројекта Википедија

Тејлорова формула, која је добила име по математичару Бруку Тејлору, користи се за приближно израчунавање функција у околини неке одређене тачке уз помоћ Тејлорових полинома.

[уреди] Тејлоров полином

За неку функцију $f (x)$ и дату тачку $a$ Тејлоров полином је дефинисан на следећи начин:

$T_n (x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = \sum_{k=0}^{n} \left ( \frac{f^{k}(a)}{k!}(x-a)^k \right )$

Остатак $R_n^a (x)$ је део који нисмо довољно добро приближили функцији, тј. грешка:

$R_n^a (x) = \frac{1}{n!} \int_a^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t) dt$

Наша функција се може представити као збир одговарајућег Тејлоровог полинома за тачку $a$ коју смо ми сами изабрали и грешке коју морамо још додати:

f (x) = T n (x) + R n (x)

[уреди] Доказ за $R_n^a(x)$

Доказ спроводимо индукцијом.

Прво да се усидримо:

n = 0

$f(x) = f(a) + \int_a^x 1 \cdot f'(t) dt$

Што у потпуности одговара фундаменталном правилу анализе.

Да Тејлорова формула важи за $n = 1$ можемо доказати путем парцијалне интеграције:

$f(x) = f(a) +f'(a)\,(x-a)+\int_a^x (x-t)^1 \, f''(t) \, dt$

Узмимо онда да за неко $n - 1$ важи:

$f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{(n-1)!}(x - a)^{n-1} + \int_a^x \frac{f^{(n)} (t)}{(n-1)!} (x - t)^{n-1} \, dt$

Закорачимо:

$n-1 \rightarrow n$

$R_{n-1}^a(x) = \int_a^x \frac{f^{(n)} (t)}{(n-1)!} (x - t)^{n-1} \, dt = \frac{1}{(n-1)!} \int_{a}^{x} (x-t)^{n-1} f^{(n)}(t)dt$

Користимо $\frac{d}{dt} \left ( \frac{(x-t)^n}{n} \right ) = -(x-t)^{n-1}$ :

$R_{n-1}^a(x)=-\frac{1}{(n-1)!} \int_{a}^{x} \frac{d}{dt}(\frac{(x-t)^{n}}{n}) \frac{d^{n}}{dt^{n}}f(t)dt$

$R_{n-1}^a(x)= - \int_{a}^{x} \underbrace { \frac{d}{dt}(\frac{(x-t)^{n}}{n!}) }_{u'} \underbrace{\frac{d^{n}}{dt^{n}} f(t)}_{v} dt$

Позивамо парцијелну интеграцију у помоћ:

$R_{n-1}^a(x)= -\left[ \underbrace{ \frac{(x-t)^n}{n!} }_u \underbrace { \frac{d^n}{dt^n}f(t) }_v \right]^{x}_{a} + \int_{a}^{x} \underbrace{\frac{(x-t)^n}{n!}}_u \underbrace{\frac{d^{n+1}}{dt^{n+1}}f(t)}_{v'}dt$

$R_{n-1}^a(x)=\frac{f^{(n)}(a)}{n!} {(x-a)}^n + \frac{1}{n!} \int_{a}^{x} (x-t)^n \frac{d^{n+1}}{dt^{n+1}}f(t)dt$

$R_{n-1}^a(x)=\frac{f^{(n)}(a)}{n!} {(x-a)}^n + \int_{a}^{x} \frac{ f^{(n+1)}(t) }{n!} (x-t)^n dt$

$\Rightarrow f(x) = T_{n-1}(x) + R_{n-1}(x) = T_n(x) + R_n(x)$ ,

Што смо и хтели да докажемо.

Служећи се теоремом за средишњу вредност можемо да овај израз упростимо (што су после људи назвали Лагранжовом формом):

$R_n^a (x) = \frac{1}{n!} \int_a^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t) dt = f^{(n+1)}(\xi) \int_a^x \frac{(x-t)^n}{n!} dt = f^{(n+1)}(\xi) \frac {(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}$ , где је

a < ξ < x

[уреди] Пример Тејлорове апроксимације на синусу

Једна од најпознатијих функција у математици је $sin(x)$ односно синус. Међутим, њено израчунавање није увек тривијално. Замислимо да нас интересују вредности у опсегу -0.5 до 0.5, а да нас остатак не занима. Такође, није нам битан тачан резултат већ приближан.

Видимо да је 0 тачно у средини нашег интервала ([-0.5, 0.5]). Једна од могућности је примена Тејлоровог полинома на тачку 0.

За синус знамо да важи: