Bolzanos sats

Wikipedia

Inom matematik är Bolzanos sats, eller Satsen om mellanliggande värden som den också kallas, ett ofta använt resultat då man vill undersöka om en ekvation, $f (x) = 0$ , går att lösa.

Det enda kravet på funktionen $f$ är att den skall vara kontinuerlig. Eftersom de flesta funktioner, som man kommer i kontakt med i praktiken, är kontinuerliga har Bolzanos sats mycket stor användbarhet.

Innehåll

1 Bolzanos sats eller Satsen om mellanliggande värden
2 Användningar av Bolzanos sats
- 2.1 Bevis av Bolzanos sats
- 2.2 Källor

[redigera] Bolzanos sats eller Satsen om mellanliggande värden

Låt $f : [a,b] \longrightarrow \mathbb{R}$ vara en kontinuerlig funktion på ett slutet och begränsat intervall $[a, b]$ . Antag att funktionsvärdena $f (a)$ och $f (b)$ är olika. Om $c$ är ett tal som ligger mellan talen $f (a)$ och $f (b)$ , så finns det ett motsvarande tal, $x c$ , som ligger mellan talen $a$ och $b$ så att $c = f (x c)$ .

[redigera] Användningar av Bolzanos sats

Vi är intresserade av att lösa ekvationen $f (x) = 0$ , där $f$ är en kontinuerlig icke-linjär funktion, exempelvis tredjegradspolynomet $f(x) = x^3 - 15 \, x - 4.$ Vi ser att funktionsvärdena $f (3) = - 22$ och $f (5) = 46$ är olika och att talet 0 (noll) ligger mellan dem. Bolzanos sats säger då att det finns ett tal $x 0$ , som ligger mellan talen 3 och 5, som är sådant att $f (x 0) = 0$ . Det existerar därför en lösning till ekvationen $f (x) = 0$ och denna lösning är ett element i det slutna och begränsade intervallet [3,5].

Man kan lokalisera lösningen genom att halvera intervallet [3,5] och undersöka hur funktionsvärdet, $f (4)$ , i intervallets mittpunkt förhåller sig till värdena $f (3)$ och $f (5)$ ; Om $f(4) \geq 0$ , så ligger lösningen till ekvationen någonstans i intervallet [3,4]. Om $f(4)\leq 0$ , så ligger lösningen någonstans i intervallet [4,5]; I detta fall råkar det vara så att $f (4) = 0$ , vilket visar att $x = 4$ är en lösning till tredjegrads-ekvationen $x^3 - 15 \, x - 4 = 0.$

Denna metod att lokalisera lösningar till ekvationer kallas Intervallhalverings-metoden.

[redigera] Bevis av Bolzanos sats

Vi antar att funktionsvärdet $f (a)$ är mindre än $f (b)$ och väljer ut ett godtyckligt tal, $c$ , som ligger mellan dessa värden:

$\,f(a) < c < f(b).$

Associerat med detta tal bildar vi mängden

$M_c = \{x \in [a,b] : f(x) < c\}.$

(Mängden $M c$ är icke-tom, eftersom det innehåller talet $a$ : $f (a) < c .$ ) Talet $b$ är en av möjligen många, övre begränsningar till mängden $M c$ . Den minsta av alla möjliga övre begränsningar är supremum över mängden $M c$ , som vi betecknar med

$x_c = \sup M_c.$

(Supremum existerar eftersom paret $([a, b], < )$ är en väl-ordnad mängd.)

Vi skall visa att talet $x c$ har den önskade egenskapen att $f (x c) = c$ , genom att utesluta de två övriga möjligheterna $f (x c) < c$ och $f (x c) > c .$

Om funktionsvärdet $f (x c) < c$ så är $f (z) < c$ också, om talet $z$ ligger tillräckligt nära talet $x c$ . Anledningen till detta är att funktionen $f$ är kontinuerlig i punkten $x c$ .

Kontinuiteten hos funktionen

f

i punkten

x c

innebär att talet

f (z)

ligger nära

f (x c)

$f(x_c) - \varepsilon < f(z) < f(x_c) + \varepsilon,$

om talet

z

ligger tillräckligt nära talet

x c

$x_c - \delta(x_c,\varepsilon) < z < x_c + \delta(x_c,\varepsilon).$

Vi har tillåtelse att välja det positiva talet $\varepsilon$ som vi vill. Om vi väljer det positiva talet $\varepsilon = c - f(x_c)$ , så ser vi att $2\,f(x_c) - c < f(z) < c.$

Det går att välja talet $δ$ så litet att det öppna intervallet $(x_c - \delta,\, x_c + \delta)$ helt ligger innanför det slutna intervallet $[a, b]$ .

Det finns alltså tal $z$ i mängden $M c$ med egenskapen att $x c - δ < z < x c + δ$ . Eftersom $z$ ligger i $M c$ , måste $z$ vara mindre än varje övre begränsning av $M c$ , speciellt måste $z$ vara mindre än den minsta övre begränsningen av $M c$ : Talet $\sup M_c = x_c$ . Detta innebär att vi har fått en motsägelse:

Talen

z

besitter de två motstridiga egenskaperna att $z \leq x_c$ och

z > x c

Vi måste därför dra slutsatsen att det inte finns sådana tal. Men vi kunde hävda att sådana tal fanns, genom att vi utgick från att funktionsvärdet $f (x c) < c$ . Därför har vi lyckats visa att olikheten $f (x c) < c$ inte gäller.

På liknande sätt som i fallet då $f (x c) < c$ , visar man att olikheten $f (x c) > c$ inte gäller heller. Den enda möjligheten som återstår är att $f (x c) = c,$ vilket var vad vi ville bevisa.