Cauchys integralkriterium
Wikipedia
Cauchys integralkriterium används inom matematiken till att avgöra om en talserie är konvergent eller inte genom att jämföra med motsvarande integral.
Om 
är positiv och avtagande på intervallet 
gäller att
är konvergent om och endast om 
är det
[redigera] Bevis
Eftersom f(x) är avtagande gäller 
om 
. Alltså gäller
![\int_{k}^{k+1} f(x) \;dx \leq \int_{k}^{k+1} f(k) \;dx = \left[f(k) \cdot x\right]_{k}^{k+1} = f(k).](../../../math/a/2/1/a21ad1f4c0ee3ab119874531b3e69141.png)
Dvs om serien är konvergent är integralen konvergent
På samma sätt gäller
![\int_{k}^{k+1} f(x) \;dx \geq \int_{k}^{k+1} f(k+1) \;dx = \left[f(k+1) \cdot x\right]_{k}^{k+1} = f(k+1).](../../../math/3/6/f/36fb5964f77c9a4f2d88daeb64980a01.png)
Dvs om integralen är konvergent är serien konvergent
Alltså är serien konvergent om och endast om integralen är konvergent
[redigera] Exempel
[redigera] Den harmoniska serien
är konvergent om och endast om 
är det. Detta är dock inte fallet, eftersom![\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} \;dx = \left[\ln x\right]_1^{\infty} = \infty\](../../../math/f/9/8/f987783c22dec6a76d2b3d141bb7ca43.png)
