Central binomialkoefficient

Wikipedia

1
1   1
1   2   1
1   3   3   1
1   4   6   4   1
1   5  10  10   5   1
1   6  15  20  15   6   1

Centrala binomialkoefficienter i Pascals triangel.

En central binomialkoefficient är inom matematik ett tal på formen

$A_n = {2n \choose n} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (2n-1) \cdot (2n)}{(1 \cdot 2 \cdots n) \cdot (1 \cdot 2 \cdots n)}$

där n är ett heltal och $\begin{matrix} {m \choose k} \end{matrix}$ betecknar en binomialkoefficient. Exempelvis är

$A_3 = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3} = 20.$

Heltalssekvensen av centrala binomialkoefficienter för n = 0, 1, 2, ... börjar 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, ... (sekvens A000984 i OEIS). De centrala binomialkoefficienterna utgör den centrala kolumnen i Pascals triangel.

Innehåll

1 Alternativa representationer
2 Storleksuppskattning
3 Samband mellan binomialkoefficienter
4 Talteoretiska egenskaper
5 Genererande funktion
6 Generalisering till komplexa tal
7 Serier av inversa centrala binomialkoefficienter
8 Källor

[redigera] Alternativa representationer

En central binomialkoefficient kan skrivas med fakulteter som

$A_n = \frac{(2n)!}{(n!)^2}$

och med en semifakultet som

$A_n = \frac{2^n(2n-1)!!}{n!}.$

De centrala binomialkoefficienterna är intimt förbundna med catalantalen C_n som ges av

$C_n = \frac{1}{n+1} A_n.$

[redigera] Storleksuppskattning

Enligt Stirlings formel gäller

$\frac{1}{2} \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}} < A_n < \sqrt{2} \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}.$

[redigera] Samband mellan binomialkoefficienter

Ett stort antal samband mellan centrala binomialkoefficienter samt mellan centrala binomialkoefficienter och andra binomialkoefficienter kan härledas. Några exempel är:

$A_n = \frac{4n-2}{n} A_{n-1}$

$A_n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}^2$

$\sum_{r=0}^n A_r = \sum_{i+j+k=n} {i+j\choose i} {j+k\choose j} {k+i \choose k}$

Listan (Hubbard & Roby) innehåller fler formler av samma typ.

[redigera] Talteoretiska egenskaper

Paul Erdős och Ronald Graham formulerade 1980 en förmodan att den centrala binomialkoefficienten $A n$ aldrig är kvadratfri för n > 4. Ett fullständigt bevis gavs 1996 av A. Granville och O. Ramare.

Wolstenholmes sats kan användas för att visa att

$A_p \equiv2\mod p^3$

för alla primtal p > 3.

[redigera] Genererande funktion

De centrala binomialkoefficienterna har den genererande funktionen

$\frac{1}{\sqrt{1-4x}} = 1 + 2x + 6x^2 + 20x^3 + 70x^4 + 252x^5 + \cdots.$

[redigera] Generalisering till komplexa tal

Gammafunktionen kan användas för att utvidga definitionen till komplexa tal z enligt

$A_z = \frac{\Gamma(2z+1)}{\Gamma(z+1)^2}$ .

De centrala binomialkoefficienterna ges även av integralen

$A_z = \frac{2^{2z+1}}{\pi} \int_0^\infty \frac{1}{(x^2+1)^{z+1}} dx.$

[redigera] Serier av inversa centrala binomialkoefficienter

I allmänhet är

$S(k) \equiv 2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k A_n} = {\,_{k+1}F_k} \left( \begin{matrix} \\ \underbrace{ 1, \ldots, 1; } \\ k+1 \end{matrix} \;\; \frac{3}{2},\;\; \begin{matrix} \\ \underbrace{ 2, \ldots, 2; } \\ k-1 \end{matrix} \;\; \frac{1}{4} \right)$