Eulers stegmetod

Wikipedia

Eulers stegmetod (en. Euler's method), numerisk analys, numerisk metod för att lösa differentialekvationen y' = f(t, y) genom att dela in den i diskreta stegintervall. Metoden utgår från Taylorserien

$y(t+h) = y(t) + y'(t)h + \frac{y''(t)}{2}h^2+...$

där man försummar termer av högre ordning än två. Man approximerar alltså funktionens lösningskurva med sin tangent i varje punkt och beräknar nästa punkt på kurvan genom att följa tangentens riktning.

Eftersom y' = f(t, y) fås

y (t + h) = y (t) + f (t, y (t)) h

eller i diskret form

y k + 1 = y k + f (t k, y k) h k

Tidsstegen ges av $t k$ och $t k + 1 = t k + h k$ och steglängen $h k$ väljs på sådant sätt att största noggranhet erhålls, vilket kan bli ett större problem än grundproblemet. Ofta väljs $h k = h$ , där h är en konstant.

Eulers stegmetod är en s.k. enstegsmetod eftersom den bara baserar sig på information från steget före. Noggrannheten är exakt för homogena differentialekvationer av första ordningen. Stabiliteten varierar beroende på differentialekvation; i vissa fall växer felet exponentiellt, medan i andra fall avtar felet exponentiellt.

[redigera] Exempel

Låt y ′ = 3t — y, y ₀ = 2, steglängden h = 0,5.

Det vill säga vi startar i punkten (0, 2). I denna punkt beräknar vi lösningskurvans lutning:

y ′ (0) = 3*0 — 2 = -2

Med steglängden 0,5 blir nästa t-värde 0 + 0,5 och nästa y-värde = 2 + (-2)*0,5 = 1. Så håller vi på och stegar oss framåt tills vi når det t-värde vi är intresserade av.

Följande tabell visar de beräknade värdena som ger en numerisk uppskattning av y (2) :

t	y (t )	y ′(t )
0	2	–2
0,5	1	0,5
1	1,25	1,75
1,5	3,25	2,125
2	2,75

Alltså är y(2) = 2,75 enligt Eulers stegmetod, med steglängden 0,5 Om ett mindre h hade använts, så hade man fått fram ett mycket noggrannare värde.

Detta svar kan jämföras med den exakta lösningen som är y(t ) = 5e^-t + 3t - 3 och som då ger att y(2) = 5e^-2 + 3 = 3,68. Att det blev så stor skillnad är inte att förvånas över, för att få ett någorlunda bra svar bör h vara som mest en tiondel av intervallet, d.v.s. ungefär 0,1 eller 0,2 i det här fallet.