Kategorisk teori
Wikipedia
Inom modellteorin sägs en teori vara kategorisk om den upp till isomorfi har en unik modell. En teori sägs vara kategorisk i en viss kardinalitet om den upp till isomorfi har en unik modell i denna kardinalitet
[redigera] Kategoricitet för första ordningens teorier
En första ordningens teori som saknar ändliga modeller och är kategorisk i någon kardinalitet större än kardinaliteten för teorin är fullständig teori. Detta ger en metod för att visa att en teori är fullständig, kallad Vaughts test.
Enligt Skolem-Löwenheims sats har varje uppräknelig teori som har en oändlig modell modeller i alla kardinaliteter. En sådan första ordningens teori kan därför inte vara kategorisk. Däremot kan den vara kategorisk i en eller flera kardinaliteter. Givet en teori T, kallas mängde av de kardinaliteter i vilka T är kategorisk för kategoricitetsspektrat för T. Varje uppräknelig fullständig första ordningens teori faller inom en av följande klasser:
- T har en unik ändlig modell och inga andra modeller
- T har en unik uppräknelig modell men flera modeller i alla andra oändliga kardinaliteter. T sägs så vara uppräkneligt kategorisk (men inte total kategorisk)
- T har flera uppräkneliga modeller men en unik modell i varje överuppräknelig kardinalitet. T sägs då vara överuppräkneligt kategorisk.
- T har en unik modell i varje oändlig kardinalitet. T sägs då vara totalt kategorisk.
Att inga andra möjligheter finns följer av Morleys sats som säger att en uppräknelig teori som är kategorisk i någon överuppräknelig kardinalitet är kategorisk i alla överuppräkneliga kardinaliteter.
[redigera] Exempel
- Teorin för en ändlig modell är kategorisk i modellens kardinalitet
- Teorin för täta linjära ordningar utan ändpunkter är uppräkneligt kategorisk men inte totalt kategorisk
- Teorin för algebraiska slutna kroppar är överuppräkneligt kategorisk men inte uppräkneligt kategorisk
- Teorin för en mängd är totalt kategorisk
