Stokastisk process

Wikipedia

En stokastisk process är ett matematiskt objekt som används för att beskriva slumpmässiga (stokastiska) förändringar.

En reellvärd stokastisk process $X$ är en samling $X = \{X_t\}_{t \in T}$ av stokastiska variabler $X_t : \Omega \longrightarrow \mathbb{R},$ som är definierade på samma sannolikhetsrum $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ . Om index-mängden $T$ är diskret, säger man att $X$ är en stokastisk process i diskret tid, och om index-mängden är kontinuerlig säger man att $X$ är en stokastisk process i kontinuerlig tid.

Sannolikhetsfördelningen för en stokastisk variabel är ett sannolikhetsmått $μ t$ på Borel sigma-algebran på mängden av de reella talen $\mathbb{R}$ :

$\mu_t(A) = P(X_t \in A), \qquad A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}).$

De ändligt-dimensionella fördelningarna för en stokastisk process är mängden $\{\mu_{(t_1,\dots,t_n)}\}_{t_1,\dots,t_n \in T, n\geq1}$ av alla tänkbara fler-dimensionella sannolikhetsfördelningar associerade med den stokastiska processen:

$\mu_{(t_1,\dots,t_n)}(A_1,\dots,A_n) = P(\{X_{t_1} \in A_1\} \cap \cdots \cap \{X_{t_n} \in A_n\}),$

där index $t_1,\dots,t_n \in T$ och mängderna $A_1,\dots,A_n \in \mathcal{B}(\mathbb{R}),$ för varje val av heltalet $n\geq 1.$

Associerade med en stokastisk process är dess väntevärdesfunktion

$m : T \longrightarrow \mathbb{R}$

och dess kovariansfunktion

$c : T \times T \longrightarrow \mathbb{R}.$

Dessa är definierade av följande integraler med avseende på sannolikhetsmåttet $P$ .

$m(t) = E[X_t] = \int_{\Omega} X_t(\omega)\, dP(\omega)$

och

$c (s, t) = E [X s X t] - E [X s] E [X t]$ ,

där väntevärdet $E [X s X t]$ beräknas på produktrummet $(\Omega\times\Omega,\mathcal{F}\times\mathcal{F},P\times P):$

$E[X_s X_t] = \int_{\Omega\times\Omega} X_s(\omega) X_t(\eta) \, d(P\times P)(\omega,\eta).$

Om det råkar vara så att de ändligt-dimensionella fördelningarna för den stokastiska processen X är absolutkontinuerliga med avseende på Lebesgue-måttet, så kan ovanstående väntevärden skrivas som

$E[X_t] = \int_{-\infty}^{\infty} x f_{X_t}(x)\,dx$

och

$E[X_s X_t] = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty x y f_{(X_s,X_t)}(x,y) \, dx \, dy,$

där funktionen $f_{X_t} : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ är Radon-Nikodym derivatan av sannolikhetsfördelningen för den stokastiska variabeln $X t$ med avseende på Lebesgue-måttet på $\mathbb{R}$

$f_{X_t} = \frac{d \mu_t}{dx}.$

Denna derivata kallas inom sannolikhetsteori och statistik för den stokastiska variabelns täthetsfunktion. På motsvarande sätt är funktionen $f_{X_s,X_t} : \mathbb{R}\times\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ Radon-Nikodym derivatan