Ultraprodukt
Wikipedia
I matematiken, särskilt inom modell- och mängdteori, används ultraprodukter för att, givet en mängd 
av strukturer av viss signatur, konstuera en struktur 
sådan att varje första ordningens påstående är sant i A omm det är sant i "många" av strukturerna Ai.
[redigera] Definition
Låt vara strukturer av en fix signatur, och 
ett ultrafilter på I. Låt 
vara direkta produkten av strukturerna. Definiera en ekvivalensrelation 
på S genom 
omm 
. Låt A vara kvoten av S med avseende på . Tolkningen av en relationssymbol R i A ges av
omm 
där 
. Funktionssymboler och konstanter tolkas analogt. Man visar att detta ger en väldefiniterad struktur, kallad ultraprodukten av strukturerna Ai med avseende på ultrafiltret .
Om alla strukturerna i den mängd man tar ultraprodukten över är lika kallas produkten en ultrapotens
[redigera] Exempel
- Ultraprodukten av en mängd strukturer med avseende på ett principalt ultrafilter med stöd i
är isomorf med Aj - Ultraprodukten av en mängd kroppar Ki där Ki har karakteristik pi, det i:te primtalet, med avseende på ett icke-principalt ultrafilter, är en kropp av karakteristik 0. Detta ger en formell tolkning av Lefschetz princip i algebraisk geometri.
- Ultrapotensen av en oändlig mängd av kopior av de reella talen med avseende på ett icke-principalt ultrafilter är en s.k. icke-standardmodell för de reella talen, i vilken man kan konstruera icke-standardanalys.
