Қатори Тейлор

From Википедиа

Қатори Тейлор — таҷзияи функсияҳоро ба суммаи беохири функсияҳои дараҷагӣ меноманд. Қатор ба шарофати риёзидони англис Брук Тейлор номгузорӣ шудааст.

Бигзор функсияи $f (x)$ дар атрофи ягон нуқтаи ${a}\,\!$ беохир дифференсиронидашаванда бошад, он гоҳ қатори

$\sum_{k=0}^\infty {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k$

қатори Тейлори функсияи $f$ дар нуқтаи $a$ номида мешавад. Ҳангоми a=0 ин қаторро баъзан қатори Маклорен низ меноманд.

Агар $f$ функсияи аналитикӣ бошад, он гоҳ қатори Тейлори он дар ҳар як нуқтаи $a$ соҳаи муайянии $f$ ба $f$ дар ягон атрофи $a$ наздик мешавад.

[вироиш] Формулаи Тейлор

Формулаи Тейлор барои исботи теоремаҳои зиёде ҳисоби дифференсиалӣ истифода мешавад. Гуфтан мумкин аст, ки формулаи Тейлор хислати функсияро дар атрофи ягон нуқта муайян месозад.

[вироиш] Таҷзияи Тейлор барои баъзе функсияҳо

Дар поён таҷзияҳои аз рӯи формулаи Тейлор барои баъзе функсияҳои асосӣ, ки барои ҳама гуна ададҳои комплексӣ ва ҳақиқии x дурустанд, оварда шудааст.

Экспонента ва логарифми натуралӣ:

$\mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}$ барои ҳама гуна

x

$\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{n+1} x^{n+1}$ барои $\left| x \right| < 1$

Қатори геометрӣ:

$\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n$ барои $\left| x \right| < 1$

Таҷзияи биномиалӣ:

$(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} {\alpha \choose n} x^n$ барои ҳама гуна $\left| x \right| < 1\quad\mbox{ and all complex } \alpha$

Функсияҳои тригонометрӣ:

$\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$ барои ҳама гуна

x

$\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}$ барои ҳама гуна

x

$\operatorname{tg} x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}$ для $\left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

$\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}$ барои ҳама гуна $\left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

$\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}$ барои ҳама гуна $\left| x \right| < 1$

$\operatorname{arctg} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}$ барои ҳама гуна $\left| x \right| < 1$

Функсияҳои гиперболӣ:

$\operatorname{sh} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}$ барои ҳама гуна

x

$\operatorname{ch} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}$ барои ҳама гуна

x

$\operatorname{th}\left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}$ барои $\left|x\right| < \frac{\pi}{2}$

$\operatorname{areash} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}$ барои $\left| x \right| < 1$

$\operatorname{areath} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}$ барои $\left| x \right| < 1$

[вироиш] Адабиёт

В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов "Математический анализ" ч. 1, изд. 3, ред. А.Н. Тихонов, изд.: Проспект 2004
В. Ю. Киселёв, А. С. Пяртли, Т. Ф. Калугина, Высшая математика. Первый семестр,

Retrieved from "http://tg.wikipedia.org../../../%D2%9B/%D0%B0/%D1%82/%D2%9A%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8_%D0%A2%D0%B5%D0%B9%D0%BB%D0%BE%D1%80_7621.html"

Categories: Қатор ва пайдарпайиҳо | Таҳлили риёзӣ

Қатори Тейлор

From Википедиа

[вироиш] Формулаи Тейлор

[вироиш] Таҷзияи Тейлор барои баъзе функсияҳо

[вироиш] Адабиёт

Views

Гаштан

Ҷустуҷӯ

бо забонҳои дигар