Математичний маятник

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Малі коливання маятника є гармонічними

Математичний маятник - це модель маятника, в якому матеріальна точка масою m підвішена на невагомому стержні з незмінною довжиною l в полі сил тяжіння з прискоренням вільного падіння g.

Модель нехтує розмірами тіла, деформацією підвісу. Зазвичай розглядається рух в площині й не приймається до уваги тертя.

При малому відхилені математичний маятник здійснює гармонічні коливання. Якщо відхилення велике, то коливання маятника періодичні, але не гармонічні. В загальному випадку, якщо маятник відхилити від положення рівноваги й штовхнути вбік, то крім гармонічних коливань від ще буде крутися по колу.

[ред.] Коливання в площині

Математичний маятник має єдине стійке положення рівноваги. Воно виникає, коли маятник висить непорушно у вертикальному положенні. У положенні рівноваги сила тяжіння зрівноважується силою натягу стержня. Якщо відвести маятник від положення рівноваги, виникають коливання.

[ред.] Рівняння руху

Нехай маятник відхилився від положення рівноваги на кут θ між вертикаллю й стержнем (див. рисунок).

Потенціальна енергія математичної точки дорівнює $U = m g h = - m g l (1 - cosθ)$ ,

де h - висота відносно найнижчого положення.

Кінетична енергія в будь-який момент часу t визначається моментом інерції I та кутовою швидкістю ω:

$K = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}I \dot{\theta}^2$ .

Момент інерції матеріальної точки масою m відносно осі, яка проходить перпендикулярно до площини рисунка через точку підвісу, дорівнює

I = m l 2

Функція Лагранжа математичного маятника для узагальненої координати θ дорівнює

$L = K - U = \frac{1}{2}ml^2 \dot{\theta}^2 + mgl(1 - \cos\theta)$ .

Рівняння Лагранжа

$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} - \frac{\partial L}{\partial \theta} = 0$

визначає рівняння руху маятника

$\ddot{\theta} + \frac{g}{l}\sin\theta = 0$ .

[ред.] Малі коливання

При малих коливаннях $\sin\theta \approx \theta$ і рівняння руху маятника зводиться до рівняння гармонічного осцилятора

$\ddot{\theta} + \omega^2 \theta =0$ ,

де частота власних коливань математичного маятника

$\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$ .

При малих коливаннях відхилення маятника від положення рівноваги описується фомулою

$\theta = \theta_0 \cos(\omega t -\varphi)$ ,

де амплітуда коливань $θ 0$ та фаза $\varphi$ визначаються початковими умовами, тобто тим наскільки маятник відхилили від положення рівноваги, як сильно його штовхнули тощо.

[ред.] Коливання довільної амплітуди

У випадку, коли початкове відхилення, або початкова швидкість не малі, коливання математичного маятника залишаються строго періодичними, але не є синусоїдальними, тобто гармонічними. Наведемо для довідок загальний розв'язок

$\theta = 2 \text{arcsin}\, k \,\text{sn}\, (\omega t -\varphi)$ ,

де $k = \sin\frac{\theta_{max}}{2}$ , позначення $θ m a x$ означає максимальне відхилення від положення рівноваги, sn(x) - еліптичний синус.

Період довільний коливань математичного маятника залежить від амплітуди, тобто від початкового відхилення. Але навіть при відхиленні на 60^o відхилення частоти від фомули, наведеної для малих коливань, не перевищує 15%.

[ред.] Верхня точка рівноваги

У математичного маятника є ще одна точка рівноваги при $θ = π$ , тобто коли стержень орієнтований вертикально вгору. У цьому положенні сила, яка діє на матеріальну точку, дорівнює нулю. Проте дана рівновага не є стійкою. При найменшому відхиленні від вертикального положення виникає сила, яка намагається вивести маятник із рівноваги. Підтримати маятник у вертикальному положенні можна за допомогою балансування, яке зводиться до особливих рухів точки опори.