Метод Рунге-Кутта

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Методи Рунге-Кутта — важлива група чисельних алгоритмів розв'язування (систем) звичайних диференціальних рівнянь. Названи за іменами німецьких математиків Карла Рунге і Мартіна Кутти.

[ред.] Класичний метод Рунге-Кутта 4 порядку

Метод Рунге-Кутта 4 порядку настільки широко розповсюджений, що його часто называють просто метод Рунге-Кутта.

Розглянемо задачу Коші $\textbf{y}'=\textbf{f}(x,\textbf{y}), \textbf{y}(x_0)=\textbf{y}_0$ . Тоді значення в наступній точці обчислюється по такій формулі:

$\textbf{y}_{n+1} = \textbf{y}_n + {h \over 6} (\textbf{k}_1 + 2\textbf{k}_2 + 2\textbf{k}_3 + \textbf{k}_4)$

де

$\textbf{k}_1 = \textbf{f} \left( x_n, \textbf{y}_n \right),$

$\textbf{k}_2 = \textbf{f} \left( x_n + {h \over 2}, \textbf{y}_n + {h \over 2} \textbf{k}_1 \right),$

$\textbf{k}_3 = \textbf{f} \left( x_n + {h \over 2}, \textbf{y}_n + {h \over 2} \textbf{k}_2 \right),$

$\textbf{k}_4 = \textbf{f} \left( x_n + h, \textbf{y}_n + h\textbf{k}_3 \right),$

h

— крок по часу.

Цей метод має 4 порядок, тобто похибка на кажному кроці укладає $O (h 5)$ , а сумарная похибка на кінцевому інтервалі інтегрування $O (h 4)$ .

[ред.] Прямі методи Рунге-Кутта

Група прямих методів Рунге-Кутта є узагальненням метода Рунге-Кутта 4 порядку. Воно задається формулами

$\textbf{y}_{n+1} = \textbf{y}_n + h\sum_{i=1}^s b_i \textbf{k}_i,$

де

$\textbf{k}_1 = f(x_n, \textbf{y}_n), \,$

$\textbf{k}_2 = f(x_n+c_2h, \textbf{y}_n+a_{21}h\textbf{k}_1), \,$

$\textbf{k}_3 = f(x_n+c_3h, \textbf{y}_n+a_{31}h\textbf{k}_1+a_{32}h\textbf{k}_2), \,$

$\vdots$

$\textbf{k}_s = f(t_n+c_sh, \textbf{y}_n+a_{s1}h\textbf{k}_1+a_{s2}h\textbf{k}_2+\cdots+a_{s,s-1}h\textbf{k}_{s-1}).$

Конкретний метод визначається числом $s$ і коефіцієнтами $b i, a i j$ і $c i$ . Ці коефіцієнты часто впорядковують в таблицю

0
$c 2$	$a 21$
$c 3$	$a 31$	$a 32$
$\vdots$	$\vdots$		$\ddots$
$c s$	$a s 1$	$a s 2$	$\cdots$	$a s, s - 1$
	$b 1$	$b 2$	$\cdots$	$b s - 1$	$b s$

Для коефіцієнтів методу Рунге-Кутта мають бути виконані умови $\sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} = c_i$ для $i=2, \ldots, s$ . Якщо ми хочемо, щоб метод мав порядок $p$ , то варто так само забезпечити умову $\bar\textbf{y}(h+x_0)-\textbf{y}(h+x_0)=O(h^{p+1})$ , де $\bar\textbf{y}(h+x_0)$ — наближення, отримане по методу Рунге-Кутта. Після багаторазового диференціювання ця умова перетвориться в систему поліноміальних рівнянь на коефіцієнти методу.