Перетворення Бокса-Мюллера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Перетвóрення Боксу — Мюллера — метод моделювання стандартних нормально розподілених випадкових величин. Має два варіанти. Метод є точним, на відміну, наприклад, від методів що ґрунтуються на центральній граничній теоремі.

Метод був опублікований в 1958 році Джорджем Боксом і Мервіном Мюллером.

[ред.] Перший варіант

Хай $r$ і $φ$ — незалежні випадкові величини, рівномірно розподілені на інтервалі (0, 1]. Обчислимо $z 0$ і $z 1$ за формулами:

$z_0 = \cos (2 \pi \phi) \sqrt {-2 \ln r},$

$z_1 = \sin (2 \pi \phi) \sqrt {-2 \ln r}.$

Тоді $z 0$ і $z 1$ будуть незалежні і розподілені нормально з математичним сподіванням 0 і дисперсією 1. При реалізації на комп'ютері зазвичай швидше не обчислювати обидві тригонометричні функції — $\cos (\cdot)$ и $\sin (\cdot)$ — а розрахувати одну з них через іншу. Ще краще скористатися натомість другим варіантом перетворення Боксу — Мюллера.

[ред.] Другий варіант

Нехай $x$ і $y$ — незалежні випадкові величини, рівномірно розподілені на відрізку [−1, 1]. Обчислимо $R = x 2 + y 2$ . Якщо виявиться, що $R > 1$ чи $R = 0$ , то значення $x$ і $y$ слід «викинути» і згенерувати наново. Як тільки виконається умова $0 < R \le 1$ за формулами

$z_0 = x \cdot \sqrt {-2 \ln R \over R}$

$z_1 = y \cdot \sqrt {-2 \ln R \over R}$

слід розрахувати $z 0$ и $z 1$ , які, як і в першому випадку, будуть незалежними величинами, що задовольняють стандартному нормальному розподілу.

Коефіцієнт використовування базових випадкових величин для першого варіанту, очевидно, рівний одиниці. Для другого варіанту це відношення площі кола одиничного радіусу до площі квадрата із стороною два, тобто $\pi / 4 \approx 0,785$ . Проте, на практиці другий варіант звичайно виявляється швидше, за рахунок того, що в ньому використовується тільки одна трансцендентна функція $\ln (\cdot)$ . Ця перевага для більшості реалізацій переважує необхідність генерації більшого числа рівномірно розподілених випадкових величин.

[ред.] Перехід до загального нормального розподілу

Після отримання стандартної нормальної випадкової величини $z$ , можна легко перейти до величини $\xi \sim N (\mu, \sigma^2)$ , що є нормально розподіленою з математичним очікуванням $μ$ і стандартним відхиленням $μ$ за формулою: