Розмірність Лебега

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Розмі́рність Ле́бега або топологічна розмірність — розмірність, визначена за допомогою покриттів, найважливіший інваріант топологічного простору. Розмірність Лебега простору $X$ , зазвичай позначається $\dim X$ .

Зміст

1 Визначення
- 1.1 Для метричних просторів
- 1.2 Для топологічних просторів
2 Приклади
3 Історія
4 Дивіться також

[ред.] Визначення

[ред.] Для метричних просторів

Для компактного метричного простору $X$ розмірність Лебега визначається як найменше ціле число n, що володіє такою властивістю, що при будь-якому $\varepsilon>0$ існує кінцеве відкрите $\varepsilon$ -покриття $X$ , що має кратність ≤ n + 1;

При цьому

$\varepsilon$ -покриттям метричного простору називається покриття, усі елементи якого мають діаметр $<\varepsilon$ , а
кратністю кінцевого покриття простору $X$ називається таке найбільше ціле число $k$ , що існує точка простору $X$ , що втримується в k елементах даного покриття.

[ред.] Для топологічних просторів

Для довільного нормального (зокрема, для метризуємого) простору $X$ розмірністю Лебега називається найменше ціле число $n$ таке, що до всякого кінцевого відкритого покриття простору $X$ існує вписане в нього (кінцеве відкрите) покриття $a$ кратності n+1.

При цьому покриття $\mathcal P$ називається вписаним у покриття $\mathcal Q$ , якщо кожний елемент покриття $\mathcal P$ є підмножиною хоча б одного елемента покриття $\mathcal Q$ .

[ред.] Приклади

Нульмірні простори: одноточковий простір, дискретний простір, множина Кантора.
Одномірні простори: коло, серветка Серпінського, килим Серпінського, губка Менгера
- Див. також крива Урисона

[ред.] Історія

Вперше топологічна розмірність введена Анрі Лебегом. Він висловив гіпотезу, що розмірність $n$ -мірного куба дорівнює $n$ . Л. Брауер вперше довів це. Точне визначення інваріанту $\dim X$ (для класу метричних компактів) дал П.С.Урисон.