Схема Бернуллі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

[ред.] Означення

Розглянемо найпростіший стохастичний експеримент з двоелементним простором елементарних подій. Одну назвемо "успіхом", позначимо "1", іншу - "невдачею" ("неуспіхом"), позначимо "0".

Нехай ймовірність успіху 0<p<1, тоді ймовірність невдачі 1-p=q.

Розглянемо новий стохастичний експеримент, який полягає у n-кратному повторенні цього найпростішого стохастичного експерименту.

Зрозуміло, що простір елементарних подій Ω, що відповідає цьому новому стохастичному експерименту буде $\left \{ \Omega=(a_1,...,a_n)|a_i=\overline{0,1}, i=\overline{1,n}\right\rbrace$ (1), $N (Ω) = 2 n$ . За σ-алгебру подій $\mathcal{A}$ візьмемо булеан простору елементарних подій $P (Ω)$ (2). Кожній елементарній події $\omega\in\Omega$ поставимо у відповідність число $p(\omega)=p^{\sum_{i=1}^n a_i} q^{n-\sum_{i=1}^n a_i}$ . Тобто, якщо в елементарній події ω успіх спостерігався k раз, а неуспіх n-k раз, то $p (ω) = p k q n - k$ . Нехай $A_k=\{\omega\in\Omega|\sum_{i=1}^n a_i=k\}, k=\overline{0,n}$ , тоді $P(A_k)=sum_{\omega\in A_k} P(\omega)=C_n^k p^k q^{n-k}$ . Також очевидною є нормованість ймовірності: $\sum_{\omega\in\Omega} P(\omega)=\sum_{k=0}^n \sum_{\omega\in A_k} P(\omega)=\sum_{k=0}^n C_n^k p^k q^{n-k}=(p+q)^n=1^n=1$ .

Отже, поставивши у відповідність кожній події $A\in\mathcal{A}$ числове значення $P(A)=\sum_{\omega\in A} P(\omega)$ (3), ми задаємо ймовірність $P:\mathcal{A}\to\mathbb{R}$ . Побудований простір $(\Omega,\mathcal{A},P)$ , де Ω - прочтір елементарних подій, визначений рівністю (1), $\mathcal{A}$ - σ-алгебра, визначена рівністю (2), P - ймовірність, визначена рівністю (3), називається схемою Бернуллі для n випробувань.

Набір чисел $P_n(k)=C_n^k p^k q^{n-k}, k=\overline{0,n}, n\in\mathbb{N}$ називається біноміальним розподілом.

[ред.] Властивості

Нехай p - ймовірність успіху в схемі Бернуллі, q=1-p.Тоді найімовірнішою серед подій $A_k, k=\overline{0,n}, n\in\mathbb{N}$ є подія $A_{k_0}$ , де $k 0$ можна знайти з нерівності $np-q\le k_0\le np+p$ .