فرق مساوات

وکیپیڈیا سے

اگر کسی سلسلہ $\ \{y_n\}$ کا رکن $\ y_n$ دوسرے اراکین کے فنکشن کے طور پر مساوات کی صورت لکھا جا سکتا ہو، تو اس مساوات کو فرق مساوات کہتے ہیں۔

فہرست

1 لکیری فرق مساوات (درجہ اول)
- 1.1 مثال
- 1.2 مثال
2 درجہ N کی لکیری فرق مساوات

[ترمیم] لکیری فرق مساوات (درجہ اول)

پہلے درجے کی لکیری فرق مساوات کی ہئیت یوں ہوتی ہے

‎ $\ y_n = \alpha y_{n-1} + b$ ‎ جہاں $\ \alpha, b$ ساکن اعداد ہیں۔ وجہ تسمیہ دیکھنے کیلئے مساوات کو یوں لکھتے ہیں

‎ $y_n - y_{n-1} =\beta y_{n-1} + b \,\,,\,\,\,\,\, \beta = (\alpha - 1)$ ‎

یعنی سلسلہ کے دو یکے بعد دیگرے ارکان کا فرق، پہلے رکن کے لکیری جوڑ کے طور پر منحصر ہے۔ اس مساوات کا حل دیکھنے کے لیے سلسلہ کے کچھ ارکان لکھتے ہیں، یہ سمجھتے ہوئے کہ $\ y_0$ ہمیں معلوم ہے:

‎ $\begin{matrix} y_1 = \alpha y_0 + b \\ y_2 = \alpha y_1 + b = \alpha (\alpha y_0 + b) +b = \alpha^2 y_0 + \alpha b + b \\ y_3 = \alpha y_2 + b = \alpha (\alpha^2 y_0 + \alpha b + b) +b = \alpha^3 y_0 + \alpha^2 b + \alpha b+ b \\ \cdots \\ y_n = \alpha^n y_0 + (1+ \alpha+ \cdots + \alpha^{n-1}) b \end{matrix}$ ‎

آخری سلسلہ کی جمع جانتے ہوئے، مساوات کا حل یوں:

$y_n = \alpha^n y_0 + \frac{(1 - \alpha^{n})}{1-\alpha} b \,\,\,,\, \alpha \ne 0 \,,\,\,\, n=0,1,2,3,\cdots$

اس سے واضح ہے کہ ‎ $\lim_{n \to \infty}y_n = \left\{ \begin{matrix} \frac{b}{1-\alpha} \,, & |\alpha| < 1 \\ \infty \,, & |\alpha| \ge 1 \end{matrix} \right.$

‎

[ترمیم] مثال

فرض کرو کہ چائے کی گرم پیالی میز پر رکھی ہے۔ کمرے کا درجہ حرارت $\ R=20^\circ C$ ہے، اور چائے کا درجہ حرارت $\ y_n$ ہے، منٹ $\ n$ پر۔ علم حرارت کے قانون کے مطابق چائے کا درجہ حرارت اس فرق مساوات کے زیر ہے

‎ $\ y_n - y_{n-1} = k (y_{n-1} - R)$ ‎

فرض کرو کہ وقت صفر پر چائے کا درجہ حرارت $\ 80^\circ C$ تھا، یعنی $\ y_0=80$ ۔ ایک منٹ بعد درجہ حرارت $\ 70^\circ C$ نوٹ کیا گیا، یعنی $\ y_1=70$ ۔ اس طرح ہمیں ساکن k کی قیمت معلوم ہو جاتی ہے: $\ 70-80 = k (80-20) \, \Rightarrow \, k=-1/6$ درجہ حرارت کی مساوات کو معیاری ہئیت میں یوں لکھا جا سکتا ہے: ‎ $y n = (1 + k) y n - 1 - k R$
‎ اور اس کا حل کچھ سادگی کے بعد: ‎ $y_n = 60 (\alpha)^n + 20 \,\,\,,\, \alpha=\frac{5}{6} \,\,,\, n=0,1,2,3,\cdots$ ‎

چائے کا درجہ حرارت $\ y_0=80$ ڈگری سے گرتا ہؤا $\ y_\infty=20$ ڈگری تک جاتا ہے، چونکہ $\ \lim_{n \to \infty} (5/6)^n = 0$ ۔ پلاٹ سے معلوم ہوتا ہے کہ تقریباً $4τ = 24$ منٹ میں چائے ٹھنڈی ہو کر کمرے کے درجہ حرارت کے قریب پہنچ جاتی ہے، جہاں $\ \tau=\frac{1}{|1-|\alpha||}$ فرق مساوات کا وقتی ساکن کہلاتا ہے۔

پہلے درجے کی اس مساوات ‎ $\ y_n = \alpha y_{n-1} + b$ ‎ کو n کی منفی جانب بھی بڑھایا جا سکتا ہے، جس کے لیے ہم اس مساوات کو یوں لکھتے ہیں: $\ y_{n-1} = \alpha^{-1}b - \alpha^{-1} y_n$ اوپر والے طریقے سے اس کا حل یہ نکل آتا ہے: $\ y_{-n} = -\alpha^{-n} y_0 + \alpha^{-1}b \frac{1-\alpha^{-n}}{1-\alpha^{-1}} \,,\, \alpha \ne 0 \,,\,\, n=1,2,\cdots$

اس بار یہ واضح ہے کہ: $\lim_{n \to \infty}y_{-n} = \left\{ \begin{matrix} \frac{\alpha^{-1}b}{1-\alpha^{-1}} \,, & |\alpha| > 1 \\ \infty \,, & |\alpha| \le 1 \end{matrix} \right.$

پہلی درجہ کی فرق مساوات کی زیادہ عام ہئیت یوں لکھی جا سکتی ہے، جہاں $\ \{u_n\}$ کوئی بھی دیا گیا سلسلہ ہو سکتا ہے:

$y n = α y n - 1 + u n$

جس کا حل بھی اوپر دیے طریقے سے نکالا جا سکتا ہے۔ غور کرو کہ اوپر کی بحث میں $\ u_n = b$ ایک ساکن تھا۔

[ترمیم] مثال

فرق مساوات جس کو ایک کمپلکس سائینوسائڈ چلا رہا ہے:

$y n = α y n - 1 + exp(ι2πν n)$

اگرچہ اس مساوات کا حل ہم اوپر دیے گئے طریقے سے نکال سکتے ہیں، مگر یہاں ہم حل کی ایک ہئیت تجویز کرتے ہیں، یہ دیکھتے ہوئے کہ ہمیں $y n = α y n - 1 + b$ کا حل معلوم ہے، اور ارتعاش ایک کمپلکس سائنوسایڈ ہے۔ تجویز کردہ حل کی ہئیت یوں ہے، جہاں A اور B نامعلوم ساکن ہیں:

$y n = A α n + B exp(ι2πν n)$

اب یہ سمجھتے ہوئے کہ n=0 پر ہمیں $y 0$ معلوم ہے، اس میں ڈال دیتے ہیں، اور A اور B میں ایک رشتہ معلوم کر لیتے ہیں: $y_0 = A \alpha^0 + B \exp(\iota 2 \pi \nu 0) \Rightarrow y_0 = A + B$

اب چونکہ حل کو مساوات کی تسکین کرنی ہے، اس لیے:

$(y_0-B) \alpha^n + B \exp(\iota 2 \pi \nu n) = \alpha \left((y_0-B) \alpha^{n-1} + B \exp(\iota 2 \pi \nu (n-1))\right) + \exp(\iota 2 \pi \nu n)$ جس سے ہمیں نامعلوم B کی قیمت معلوم ہو جاتی ہے:

$\Rightarrow B = \frac{1}{1-\alpha \exp(-\iota 2 \pi \nu )}$ اور اب مساوات کا حل یوں لکھا جا سکتا ہے: $y_n = \alpha^n y_0 - \frac{1}{1-\alpha \exp(-\iota 2 \pi \nu)} \alpha^n + \frac{1}{1-\alpha \exp(-\iota 2 \pi \nu)} \exp(\iota 2 \pi \nu n)$

اس حل کو ہم $\alpha=0.9 \,, \, \nu=0.04 \,,\, y_0=0$ کیلئے ہم پلاٹ کر سکتے ہیں۔ پلاٹ میں نیلے رنگ میں سائینوسائڈ ارتعاش دکھایا گیا ہے، جبکہ $\Re(y_n)$ سرخ رنگ میں ہے۔ دیکھو کہ تقریباً $\ 4 \tau=40$ کے بعد $\ y_n$ خود بھی ایک عام سائنوسائڈ بن جاتا ہے (جہاں وقتی ساکن $\ \tau=\frac{1}{|1-|\alpha||}$ ) ۔

[ترمیم] درجہ N کی لکیری فرق مساوات

درجہ N کی لکیری فرق مساوات کی ہئیت یہ ہے:
$\alpha_0 y_n + \alpha_{1} y_{n-1} + \alpha_{2} y_{n-2} + \cdots + \alpha_{N} y_{n-N} = 0$

لکیری مساوات کہنے کی وجہ یہ ہے، کہ اس مساوات کے اگر دو حل $\{y^{(1)}_n\}$ اور $\{y^{(2)}_n\}$ ہوں، تو ان حل کا لکیری جوڑ (مثلاً $\{y^{(1)}_n + y^{(2)}_n\}$ ) بھی اس مساوات کا حل ہو گا۔ درجہ N کی مساوات کے N آزاد حل ہوں گے جو کہ اس مساوات کے حل ہوں گے- مساوات کا عام حل ان N حلوں کا لکیری جوڑ ہو گا۔

[ترمیم] درجہ دوم کی لکیری فرق مساوات

دوسرے درجہ کی فرق مساوات $α 0 y n + α 1 y n - 1 + α 2 y n - 2 = 0$
اس کے ایک حل کی ہئیت یہ تصور کرتے ہوئے، $y_n^{(1)} = A \lambda^n$ جہاں A ایک ساکن ہے، یہ حل ہم مساوات میں ڈال دیتے ہیں: $\begin{matrix} \alpha_0 A \lambda^n + \alpha_{1} A \lambda^{n-1} + \alpha_{2} A \lambda^{n-2} =& 0 \\ A \lambda^{n-2} \left(\alpha_0 \lambda^2 + \alpha_{1} \lambda^{1} + \alpha_{2}\right) =& 0 \\ \alpha_0 \lambda^2 + \alpha_{1} \lambda^{1} + \alpha_{2} =& 0 \end{matrix}$

اُپر کی مساوات سے $\ \lambda$ کا حل یوں نکل آتا ہے $\lambda_0, \lambda_1 = \frac{-\alpha_1 \pm \sqrt{\alpha_1^2 - 4 \alpha_0 \alpha_2}}{2 \alpha_0}$ جس سے ہمیں فرق مساوات کے دو حل بنا سکتے ہیں۔ فرق مساوات کا عام حل ان دو کے لکیری جوڑ سے یوں بنتا ہے:
$y_n = A_0 \lambda_0^n + A_1 \lambda_1^n$
جہاں $A 0, A 1$ دو ساکن ہیں، جن کی قیمت ہم معلوم کر سکتے ہیں، اگر ہمیں ابتدائی $y 0, y 1$ معلوم ہوں، نیچے دی مساوات کو حل کر کے:

$\begin{matrix} y_0 = A_0 \lambda_0^0 + A_1 \lambda_1^0 \\ y_1 = A_0 \lambda_0^1 + A_1 \lambda_1^1 \end{matrix}$

اگر $λ 0 = λ 1$ (یعنی $\alpha_1^2 - 4 \alpha_0 \alpha_2 =0$ ) تو فرق مساوات کا حل یوں لکھا جائے گا:

$y_n = A_0 \lambda_0^n + A_1 n \lambda_0^n$

[ترمیم] مثال

فرض کرو کہ درجہ دوم کی مساوات کے عددی سر یوں ہیں $α 0 = 1,α 1 = - 1.96,α 2 = 0.98$
تو اس مساوات کے جزر نکالنے ہیں: $\ \alpha_0 \lambda^2 + \alpha_{1} \lambda^{1} + \alpha_{2} = 0$
جو کہ مختلط عدد ہیں $\ \lambda, \bar{\lambda} = 0.98 \pm \iota 0.14 = 0.99 \exp(\pm \iota 0.142)$
اب دوسرے درجے کی فرق مساوات کا حل یوں لکھا جا سکتا ہے
$\ y_n = A_0 \lambda^n + A_1 \bar{\lambda}^n$
جہاں ساکن $\ A_1, A_0$ ابتدائی حالت سے نکالے جائینگے۔
فرض کرو کہ ابتدائی حالت یہ ہے: $\ y_0=0, y_{-1}=-1$ یوں سمجھو کہ یہ مساوات دو ستونوں کے درمیان سختی سے بندھی ہوئی ایک لوہے کی تار کی حالت بیان کر رہی ہے۔ تار کو وقت "منفی ایک" پر کھینچ کر چھوڑ دیا جاتا ہے، جس کہ بعد تار کچھ دیر ارتعاش میں رہ کر اپنی اصل حالت پر واپس آ جاتی ہے۔
ابتدائی حالت کو استعمال کرتے ہوئے ساکن نکالتے ہیں: $\ y_0 = 0 = A_0 \lambda^0 + A_1 \bar{\lambda}^0$ جس سے پتہ چلتا ہے کہ $\ A_1 = -A_0$ اور $\begin{matrix} y_{-1} = -1 = A_0 \lambda^{-1} - A_0 \bar{\lambda}^{-1} \\ \longrightarrow A_0 = \frac{\lambda \bar{\lambda}}{\lambda-\bar{\lambda}} = \frac{7}{\iota 2} \end{matrix}$
اب فرق مساوات کا حل یوں لکھا جا سکتا ہے: $\begin{matrix} y_n = \frac{7}{2 \iota} (0.99)^n \left( \exp(\iota 0.142 n) - \exp(-\iota 0.142 n) \right) \\ y_n = 7 (0.99)^n \sin(0.142 n) \end{matrix}$
پلاٹ میں غور کرو کہ تقریبا $4τ = 400$ وقت کے بعد سائینوسایڈ (مساوات کا حل ) تقریباً صفر ہو جاتا ہے، جہاں وقتی ساکن $\ \tau=\frac{1}{|1-|\lambda||}$

درجہ N کی لکیری فرق مساوات کی زیادہ عام ہئیت یہ ہے: $\alpha_0 y_n + \alpha_{1} y_{n-1} + \alpha_{2} y_{n-2} + \cdots + \alpha_{N} y_{n-N} = u_n$
اس مساوات کو بیرونی ارتعاش $\ u_n$ چلا رہا ہے۔ اس مساوات کے حل میں اوپر کےN حلوں کے علاوہ ایک رقم جو $\ u_n$ پر منحصر ہو گی، جمع کی جائے گی۔

[ترمیم] میٹرکس صورت

اس درجہ N کی لکیری فرق مساوات کو ہم ایک میٹرکس مساوات کی صورت لکھیں گے۔ اس کے لیے ہم ایک ستون میٹرکس $Y_n =\begin{bmatrix} y_{n-N+1} \\ \vdots \\ y_{n-1} \\ y_{n} \end{bmatrix}$

بناتے ہیں۔ اب $\ Y_{n}$ اور $\ Y_{n-1}$ پر غور کرتے ہوئے، درجہ N کی فرق مساوات کو پہلے درجہ کی میٹرکس مساوات کی صورت یوں ڈھالا جا سکتا ہے: $\begin{bmatrix} y_{n-N+1} \\ \vdots \\ \vdots \\ y_{n-1} \\ y_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & 0 & 1 & & \vdots \\ \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & & & 1 \\ \frac{-\alpha_N}{\alpha_0} & \frac{-\alpha_{N-1}}{\alpha_0} & \cdots & \cdots & \frac{-\alpha_1}{\alpha_0} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_{n-N} \\ y_{n-N+1} \\ \vdots \\ \vdots \\ y_{n-1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ u_{n} \end{bmatrix}$
یا

$\ Y_n = A Y_{n-1} + U_n$

جہاں $\ A$ سائیز $\ N \times N$ کی مربع میٹرکس ہے۔ اب اس میٹرکس مساوات سے $\ Y_n$ سلسلہ سائیلیب میں بآسانی نکالا جا سکتا ہے۔ ستون میٹرکس $\ Y_n$ کا کوئی بھی جُز اصل فرق مساوات کا حل ہے۔ پہلے درجہ کی میٹرکس فرق مساوات کا حل یوں لکھا جا سکتا ہے: $\ Y_n = A^n Y_0 + \sum_{k=0}^{n-1} A^k U_k \,\,,\, n=0,1,2,\cdots$

[ترمیم] ویژہ قیمت

اوپر دی درجہ دوم کی لکیری فرق مساوات کی مثال $α 0 y n + α 1 y n - 1 + α 2 y n - 2 = 0$
کو میٹرکس صورت لکھو، تو میٹرکس یہ ہو گی: $A = \left[\begin{matrix} 0 & 1 \\ -\frac{\alpha_2}{\alpha_0} & -\frac{\alpha_1}{\alpha_0} \end{matrix}\right]$ اب اگر اس میٹرکس کی ویژہ قیمت نکالی جائے $det(A - λ I) = 0$ تو وہی مساوات مل جاتی ہے $α 0 λ 2 + α 1 λ 1 + α 2 = 0$ اس سے معلوم ہوتا ہے کہ فرق مساوات کے حل پر اس میٹرکس (یا فرق مساوات) کی ویژہ قیمتوں کا راج ہوتا ہے۔

        اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں (LTR) پڑھیۓ        ریاضی علامات

Retrieved from "http://ur.wikipedia.org../../../%D9%81/%D8%B1/%D9%82/%D9%81%D8%B1%D9%82_%D9%85%D8%B3%D8%A7%D9%88%D8%A7%D8%AA.html"

زمرہ: ریاضیات

فرق مساوات

وکیپیڈیا سے

فہرست

[ترمیم] لکیری فرق مساوات (درجہ اول)

[ترمیم] مثال

[ترمیم] مثال

[ترمیم] درجہ N کی لکیری فرق مساوات

[ترمیم] درجہ دوم کی لکیری فرق مساوات

[ترمیم] مثال

[ترمیم] میٹرکس صورت

[ترمیم] ویژہ قیمت

Views

رہنمائی

ساتھی منصوبے

تلاش

دیگر زبانیں