Вписани окръжности в триъгълник

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Вътрешно и външновписани окръжности в триъгълник

В геометрията, вътрешновписана окръжност (или само вписана окръжност) се нарича окръжността с най-голям радиус, която се съдържа в даден триъгълник. Тази окръжност се допира до трите страни на триъгълника. Във всеки триъгълник съществува единствена вътрешновписана окръжност. Външновписани окръжности в триъгълник са окръжностите, които се допират до една от страните на триъгълник и до продълженията на другите две страни. За всеки триъгълник съществуват три външновписани окръжности.

Центърът на вътрешновписаната окръжност съвпада с пресечната точка на ъглополовящите на вътрешните ъгли на триъгълника. Центърът на външновписаните окръжности съвпада с пресечната точка на една от ъглополовящите на вътрешните ъгли с ъглополовящите на външните ъгли при другите два върха на триъгълника. Поради това центърът на вътрешновписаната окръжност е ортоцентър за триъгълника с върхове - центровете на външновписаните окръжности.

Триъгълник с вътрешновписана окръжност, допирен триъгълник и точка на Жергон

Радиусите на вписаните в триъгълник окръжности са пряко свързани с лицето на триъгълника. Ако S е лицето на триъгълника, а дължините на страните на триъгълника са означени с a, b и c, радиусът на вътрешновписаната окръжност може да се изрази като 2S/(a+b+c). При същите означения външновписаната окръжност, която се допира до страната a, може да се изрази като 2S/(-a+b+c), до страната b като 2S/(a-b+c) и до страната c като 2S/(a+b-c).

Във всеки триъгълник окръжността на деветте точки се допира до трите външновписани окръжности и до вътрешновписаната окръжност на триъгълника. На вътрешновписаната окръжност в триъгълника лежи точката на Фойербах.

Ако означим върховете на един триъгълник с A, B и C и трите точки, в които вътрешновписаната окръжност се допира до страните на триъгълника с T_A, T_B и T_C (точка T_A лежи на срещуположната на точка A страна), триъгълникът T_AT_BT_C се нарича допирен триъгълник или триъгълник на Жергон. Вътрешновписаната окръжност в триъгълник ABC е описана около T_AT_BT_C. Отсечките AT_A, BT_B и CT_C се пресичат в една точка - точката на Жергон.

В допирния триъгълник точката на Жергон съвпада с пресечната точка на симедианите - точка на Лемуан.

Ако в правоъгълен триъгълник означим дължините на страните с a, b и c (c е дължината на хипотенузата), радиусът на вътрешновписаната окръжност може да се изрази като (a+b-c)/2.