Recta

De Viquipèdia

Una recta, o línia recta, és un objecte geomètric format per un conjunt d'infinits punts infinitament llarg, i infinitament prim que no té curvatura. També es diu que els punts d'una recta estan alineats.

Taula de continguts

1 Posicions relatives de les rectes
2 Les rectes en geometria
- 2.1 Altres propietats de les rectes
3 Les rectes en matemàtiques
- 3.1 La recta en R2

[edita] Posicions relatives de les rectes

Dues rectes són coplanàries si poden estar contingudes en un mateix pla. En cas contrari es diu que les rectes es creuen.
Dues rectes són paral·leles si són coplanàries i no tenen cap punt en comú.
Dues rectes s'intersequen o es tallen si tenen un sol punt en comú.

[edita] Les rectes en geometria

En geometria, la recta és un conjunt d'infinits punts, subconjunt parcial dels infinits punts que formen un pla i que compleix unes determinades propietats. És un ens fonamental (juntament amb el punt i el pla) que no admet una definició més concreta. Simplement, s'enuncien les propietats i se n'accepta l'existència de forma axiomàtica (vegeu axiomes de la geometria). Aquestes propietats (no demostrables) són les següents:

1. Per dos punts diferents hi passa una recta i només una.

2. Si dos punts d'una recta estan en un pla, llavors tots els altres punts de la recta també estan continguts en aquest pla.

3. La recta és un conjunt de punts linealment ordenat, obert i dens, on:

Linealment ordenat significa que, donada una terna de punts, A, B i C, si A precedeix B i B precedeix a C, llavors A precedeix a C.
Obert significa que no existeix ni un primer ni un últim punt.
Dens significa que entre dos punts d'una recta sempre n'hi ha infinits més, de manera que no existeixen punts consecutius.

4. Tota recta continguda en un pla estableix una divisió dels punts del pla no continguts en la recta en dues úniques regions tals que tot punt del pla exterior a la recta pertany a una o altra regió, i de manera que, escollits dos punts que pertanyin a diferents regions, la recta que els conté té un punt situat entre ells que pertany a la recta original i viceversa.

5. Per un punt exterior a una recta, hi passa una (i només una) recta tal que les dues estan contingudes en un mateix pla i no tenen entre elles cap punt en comú (paral·lela).

6. Donada una classificació dels punts d'una recta en dues regions que compleix:

Existeixen punts de la recta d'una i altra regió.
Tot punt de la recta pertany a una o altra regió.
Tot punt d'una regió precedeix a tot punt de l'altra regió.

llavors existeix un sol punt de la recta tal que tots els punts que el precedeixen pertanyen a la primera regió i tots els punts que el segueixen pertanyen a la segona regió.

Temes relacionats amb els punts 4 i 6: semiplà, semirecta.

[edita] Altres propietats de les rectes

Una recta i un punt no contingut en ella determinen un pla que passa per ells.

Demostració: per definició de recta, aquesta està formada per infinits punts, dels quals se'n consideren dos. Així, es té un conjunt de 3 punts no alineats. Una de les propietats axiomàtiques del pla és que per tres punts no alineats hi passa un pla i només un. Aquest pla que passa pels tres punts passa pel punt no contingut en la recta i també per la recta, ja que una de les propietats axiomàtiques de la recta (la segona) diu que si dos punts d'una recta estan en un pla, llavors tots els altres punts de la recta també estan continguts en aquest pla, QED.

Dues rectes que es tallen determinen un pla que passa per elles (i per tant, són coplanàries).

Demostració: per definició de recta, aquesta està formada per infinits punts, dels quals se'n considera un d'una de les rectes que intersecta. Aplicant la propitat anterior, se segueix que existeix un pla que passa per aquest punt i que conté tota l'altra recta, en particular el punt comú entre les dues rectes. Aquest pla, també conté la primera recta, ja que una de les propietats axiomàtiques de la recta (la segona) diu que si dos punts d'una recta estan en un pla, llavors tots els altres punts de la recta també estan continguts en aquest pla, QED.

Si una recta (a) talla a una altra recta b, llavors a també talla totes les paral·leles a b contingudes en el pla que determinen a i b.

Demostració, per reducció a l'absurd: se suposa a que no talla a una paral·lela de b (c), continguda en el mateix pla que defineixen a i b, que intersequen al punt I. Llavors, pel punt I, exterior a c existirien dues rectes paral·leles a c, cosa que entra en contradicció amb una propietat axiomàtica de la recta (la cinquena).

Si dues rectes (a i b) són paral·leles a una tercera (c), llavors són paral·leles entre sí (propietat transitiva).

Demostració (encara no disponible a Viquipèdia).

[edita] Les rectes en matemàtiques

En un espai vectorial (per exemple R² o R²) es defineix la recta r com:

$r = \{\vec{a}+t\vec{b}\mid t\in\mathbb{R}\}$

on $\vec{a}$ i $\vec{b}$ són vectors (per exemple de R² o R³) fixos i $\vec{b}$ és no nul. t és un paràmetre real lliure que és el paràmetre arc quan $\vec{b}$ és unitari. El vector b descriu la direcció de la recta i $\vec{a}$ és un punt de la recta. Aquesta equació és l'anomenada equació vectorial d'una recta.

De forma més abstracte, hom sovint assumeix que els punts d'una recta es corresponen un a un amb els nombres reals.

[edita] La recta en R²

[edita] Equacions de la recta en R²

Equació vectorial: on:
- $\vec{a}=(x_0,y_0)$ és un punt per on passa la recta.
- $λ$ és un paràmetre tal que ${\lambda} \in \mathbb{R}$
- $\vec{b}=(v_1,v_2)$ és un vector que dóna la direcció de la recta i s'anomena vector director de la recta.
Equacions paramètriques: $r:\{\begin{matrix} x=x_0+{\lambda}\cdot v_1 \\ y=y_0+{\lambda}\cdot v_2 \end{matrix}$ .

S'obtenen directament de desglossar l'equació vectorial.

Equació contínua: $r:\frac{x-x_0}{v_1}=\frac{y-y_0}{v_2}$

S'obté de plantejar l'igualació del paràmetre λ de les dues equacions paramètriques. Les rectes paral·leles a algun dels eixos coordenats, no es poden expressar amb aquesta forma, ja que tindrien algun denominador nul.

Equació general o implícita: $r: A \cdot x+B \cdot y + C = 0$

amb A, B i C, coeficients reals fixos tals que A i B són no nuls.

Aquesta equació s'obté de l'equació contínua considerant:

A = v 2

B = - v 1

$C=v_1 \cdot y_0 - v_2 \cdot x_0$ .

Equació explícita $r: y=m \cdot x + n$

S'obté aïllant y en l'equació anterior i considerant:

$m=-\frac{A}{B}$

$n=- \frac{C}{B}$ , on

m s'anomena pendent de la recta i el seu valor és el de la tangent de l'angle (α) que forma la recta amb l'eix x.
n és l'ordenada del punt d'intersecció entre la recta i l'eix y.

Equació canònica $r: \frac{x}{p}+\frac{y}{n}=1$

Obtinguda dividint l'equació implícita per C i anomenant

$p=- \frac{C}{A}$

$n=- \frac{C}{B}$ .

Els paràmetres resulten ser tals que la recta interseca amb els eixos de coordenades en els punts (p,0) i (0,n).

Equació punt-pendent $r: y-y_0=m \cdot (x-x_0)$

S'obté aïllant

y - y 0

de l'equació contínua i considerant:

$m= \frac{v_2}{v_1}$ , que torna a ser el pendent de la recta ja que

A = v 2

B = - v 1

i s'havia definit m com $m=-\frac{A}{B}$

[edita] Rectes notables R²

L'equació d'una recta vertical, com la v, respon a l'equació

x = x v

(constant).

L'equació d'una recta horitzontal, como la h, respon a l'equació

y = y h

(constant).

Una recta qualsevol que passi per l'orgin O (0,0), com la s, complirà la condició $n = 0$ , i la seva equació explícita serà de la forma $r: y=m \cdot x$ .

[edita] Paral·lelisme i perpendicularitat

Dues rectes qualssevol (una representada amb primes (') sobre els seus paràmetres i l'altre no)

Seran paral·leles si i només si (els següents tres punts són equivalents):
- els seus vectors directors són paral·lels, cosa que passa quan $\frac{v_1}{v'_1} = \frac{v_2}{v'_2}$
- $\frac{A}{A'} = \frac{B}{B'}$
- $m = m'$
Seran perpendiculars (o ortogonals) si i només si (els següents punts també són equivalents)
- els seus vecotrs directors són ortogonals, cosa que passa quan el seu producte escalar és nul: $v_1 \cdot v'_1 + v_2 \cdot v'_2 = 0$
- $A \cdot A' + B \cdot B' = 0$
- $m \cdot m' = -1$

[edita] Angles i distàncies

Angle entre dues rectes: Dues rectes que es tallen defineixen quatre angles iguals dos a dos. L'angle (α) que formen les rectes es defineix tal que està entre 0 i 90º. Coneguts els vectors directors Amb l'expressió que defineiés el que formen els seus vectors directors $\vec {v}$ i $\vec {w}$ , es pot calcular l'angle que formen amb l'expressió:

$cos \alpha = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{w}|}{|\vec{v}| |\vec{w}|}$

Distància entre un punt i una recta: La distància entre una recta ( $r: A \cdot x+B \cdot y + C = 0$ ) i un punt $P (p 1, p 2)$ exterior a r és la menor de les distàncies entre el punt P i qualsevol dels punts de la recta r. Aquesta distància es minimitza amb la projecció ortogonal de P sobre r, i l'expressió que dóna la distància entre P i r' és:

$d(P,r) = \frac{|A \cdot p_1 + B \cdot p_2 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Distància entre dues rectes: la distància entre dues rectes és la menor distància entre punts d'una i altra recta. Si les rectes tenen algun punt en comú, la distància és 0; si són paral·leles, la distància entre elles ve donada per la distància entre un punt d'una recta i l'altre, ja que aquest valor és independent del punt triat.

Obtingut de "http://ca.wikipedia.org../../../r/e/c/Recta.html"

Categories: Viquipèdia:Articles destacats en w:pl | Geometria

Recta

De Viquipèdia

Taula de continguts

[edita] Posicions relatives de les rectes

[edita] Les rectes en geometria

[edita] Altres propietats de les rectes

[edita] Les rectes en matemàtiques

[edita] La recta en R²

[edita] Equacions de la recta en R²

[edita] Rectes notables R²

[edita] Paral·lelisme i perpendicularitat

[edita] Angles i distàncies

Views

Navegació

Cerca

En altres llengües

Recta

De Viquipèdia

Taula de continguts

[edita] Posicions relatives de les rectes

[edita] Les rectes en geometria

[edita] Altres propietats de les rectes

[edita] Les rectes en matemàtiques

[edita] La recta en R2

[edita] Equacions de la recta en R2

[edita] Rectes notables R2

[edita] Paral·lelisme i perpendicularitat

[edita] Angles i distàncies

Views

Navegació

Cerca

En altres llengües

[edita] La recta en R²

[edita] Equacions de la recta en R²

[edita] Rectes notables R²