Bezesporná teorie
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Bezesporná teorie (také konzistentní teorie), sporná teorie a spor jsou důležité pojmy matematickologické syntaxe. Bezespornost nějaké formální teorie je základní vlastností, kterou od ní požadujeme - spolu s požadavky úplnosti a rekurzivní axiomatizovanosti tvořila bezespornost trojici nároků, které David Hilbert ve svém tzv. Hilbertově programu kladl na teorii, která by měla být „světem matematiky“ (tj. takovou teorii, v níž by byly všechny ostatní matematické teorie interpretovatelné). Nemožnost provedení Hilbertova programu prokázal Kurt Gödel ve svých slavných větách o neúplnosti.
[editovat] Definice
Řekneme, že teorie je sporná, je-li v ní dokazatelná nějaká sentence (tj. uzavřená formule) i její negace. Není-li teorie sporná, říkáme, že je bezesporná neboli konzistentní. Za spor v teorii T považujeme každou formuli, která je v T dokazatelná spolu se svojí negací.
[editovat] Vlastnosti
Následující vlastnosti teorie T jsou ekvivalentní (v logice s rovností):
- T je sporná.
- V T je dokazatelná každá sentence.
- V T je dokazatelná sentence
- Nějaká konečná podteorie T je sporná.
- Neexistuje model T. (viz Gödelova věta o úplnosti predikátové logiky)
Tedy teorie obsahující spor je v „klasické“ logice nejsilnější teorií (ve smyslu velikosti množiny dokazatelných formulí), neboť dokazuje každé tvrzení. Dále platí:
- Rekurzivně axiomatizovaná bezesporná teorie obsahující Peanovu aritmetiku je neúplná. To je tvrzení první Gödelovy věty o neúplnosti.
[editovat] Podívejte se také na
 |
Související články obsahuje: |
