Laboratorní a těžišťová soustava

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Laboratorní soustavou (zkráceně L-soustavou) se označuje taková vztažná soustava, v níž se hmotný střed soustavy částic pohybuje určitou rychlostí $\mathbf{V}$ .

Těžišťovou soustavou (zkráceně C-soustavou) se označuje taková vztažná soustava, která je pevně spojena s hmotným středem soustavy těles (částic), tzn. hmotný střed soustavy částic je v těžišťové soustavě v klidu.

Rychlost pohybu hmotného středu soustavy vzhledem k těžišťové soustavě je tedy nulová. Je tedy možno zanedbat pohyb soustavy jako celku a soustředit se pouze na vzájemné pohyby jednotlivých částí systému těles.

Reálné pohyby (srážky) probíhají v laboratorních podmínkách, v nichž je téměř nemožné zajistit, aby hmotný střed byl vzhledem k laboratoři nehybný. Reálné pohyby tedy sledujeme v (nějaké) laboratorní soustavě. Tyto pohyby obvykle transformujeme do soustavy těžišťové, v níž je většinou jednodušší získat požadované výsledky. Tyto výsledky pak zpětně transformujeme do laboratorní soustavy, abychom ověřili jejich platnost s reálným experimentem.

[editovat] Příklad

Uvažujme dva hmotné body 1 a 2 v laboratorní soustavě, přičemž rychlost hmotného středu soustavy obou bodů označíme $\mathbf{V}$ a budeme předpokládat, že rychlost částice 2 je v laboratorní soustavě před srážkou nulová, tzn. $\mathbf{v}_{2L}=0$ .

Rychlost $\mathbf{V}$ v laboratorní soustavě lze určit ze vztahu

$(m_1+m_2)\mathbf{V} = m_1\mathbf{v}_{1L} + m_2\mathbf{v}_{2L} = \mathbf{p}_{1L} + \mathbf{p}_{2L}$

odkud vzhledem k podmínce $\mathbf{v}_{2L}=0$ platí

$\mathbf{V} = \frac{\mathbf{p}_{1L}}{m_1+m_2}$

Pro malé rychlosti (tedy v nerelativistické mechanice) lze rychlosti v těžišťové soustavě vyjádřit vztahem

$\mathbf{v}_C = \mathbf{v}_L - \mathbf{V}$

V těžišťové soustavě tedy pro hybnosti před srážkou dostaneme

$\mathbf{p}_{1C} = m_1\mathbf{v}_{1C} = m_1(\mathbf{v}_{1L}-\mathbf{V}) = \mathbf{p}_{1L}-m_1\mathbf{V}$

$\mathbf{p}_{2C} = m_2\mathbf{v}_{2C} = m_2(\mathbf{v}_{2L}-\mathbf{V}) = \mathbf{p}_{2L}-m_2\mathbf{V}$

V C-soustavě je celková hybnost nulová, což plyne z toho, že hmotný střed soustavy částic je vzhledem k této soustavě v klidu. Platí tedy

$\mathbf{p}_{1C}+\mathbf{p}_{2C}=0$

V těžišťové soustavě se tedy obě částice pohybují proti sobě se stejně velkými hybnostmi, tedy $\mathbf{p}_{1C}=-\mathbf{p}_{2C}$ .

Ze zákona zachování hybnosti plyne, že celková hybnost před srážkou je rovna celkové hybnosti po srážce, tzn. v těžišťové soustavě platí

$\mathbf{p}_{1C}+\mathbf{p}_{2C} = \mathbf{p}_{1C}^\prime + \mathbf{p}_{2C}^\prime =0$

kde veličiny po srážce jsou označeny čárkou. V těžišťové soustavě mají tedy hybnosti po srážce opět stejné velikosti a vektory hybnosti opačný směr, podobně jako hybnosti před srážkou. Vektory hybností před srážkou a po srážce však mohou mít jiné směry.

V laboratorní soustavě platí

$\mathbf{p}_{1L}+\mathbf{p}_{2L} = \mathbf{p}_{1L}^\prime + \mathbf{p}_{2L}^\prime = (m_1+m_2)\mathbf{V}$

V těžišťové soustavě je tedy řešení jednodušší.

Označíme-li vnitřní energie částic před srážkou a po srážce jako $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_1^\prime, \varepsilon_2^\prime$ , pak podle zákona zachování energie bude platit

$\varepsilon_1 + \frac{p_{1C}^2}{2m_1} + \varepsilon_2 + \frac{p_{2C}^2}{2m_2} = \varepsilon_1^\prime + \frac{{p_{1C}^\prime}^2}{2m_1} + \varepsilon_2^\prime + \frac{{p_{2C}^\prime}^2}{2m_2}$