Nevlastní integrál

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Při výpočtu Riemannova integrálu vycházíme z předpokladu, že interval $\langle a,b\rangle$ , na němž integrujeme, je konečný, a funkce $f (x)$ je na tomto intervalu po částech spojitá. Není-li některý z těchto předpokladů splněn, pak hovoříme o nevlastním integrálu. Integrály, které splňují obě podmínky bývají označovány jako vlastní.

Integrály, které porušují první podmínku, tzn. integrace probíhá na nekonečném intervalu, jsou nevlastní integrály vlivem meze. Pokud je v okolí bodu $a$ nebo $b$ funkce neohraničená, ale existuje (jednostranná) limita v tomto bodě, pak je porušena druhá podmínka a hovoříme o integrálech nevlastních vlivem funkce.

Hodnoty nevlastních integrálů určujeme pomocí limit. Pokud je daná limita vlastní, pak říkáme, že se jedná o konvergentní integrál, popř. že integrál konverguje. Pokud daná limita neexistuje nebo je nevlastní, říkáme, že se jedná o divergentní integrál, popř. že integrál diverguje.

Obsah

1 Integrál nevlastní vlivem meze
- 1.1 Bolzanova-Cauchyova podmínka
- 1.2 Vícerozměrný integrál
2 Integrál nevlastní vlivem funkce
- 2.1 Bolzanova-Cauchyova podmínka
- 2.2 Vícerozměrný integrál
3 Podívejte se také na

[editovat] Integrál nevlastní vlivem meze

Integrál nevlastní vlivem meze.

Nevlastním integrálem (vlivem meze) označíme integrál z funkce $f (x)$ na intervalu, jehož jedna (nebo obě) z mezí jdou do nekonečna. Pokud je $f (x)$ integrovatelná na každém konečném intervalu $\langle a,b\rangle$ , pak říkáme, že integrál z funkce $f (x)$ je konvergentní na intervalu $\langle a,\infty)$ , pokud je následující limita vlastní.

$\int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x = \lim_{b \to +\infty} \int_a^b f(x)\mathrm{d}x = A$

Pokud uvedená limita neexistuje nebo je nevlastní, pak integrál diverguje.

Integrál nevlastní vlivem meze je představován modrou plochou na obrázku.

Podobně lze na intervalu $(-\infty,b\rangle$ psát

$\int_\infty^b f(x)\mathrm{d}x = \lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x)\mathrm{d}x = B$

Je-li uvedená limita vlastní, jde o konvergentní integrál, pokud neexistuje nebo je nevlastní, jde o integrál divergentní.

Jsou-li nevlastní obě meze, tzn. integrace probíhá na intervalu $(-\infty,\infty)$ , pak můžeme zvolit nějaký bod c, a nevlastní integrál vyjádřit jako

$\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{d}x = \int_{-\infty}^c f(x)\mathrm{d}x + \int_c^\infty f(x)\mathrm{d}x$

Integrál $\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{d}x$ označíme jako konvergentní, jsou-li konvergentní oba integrály na pravé straně. Pokud je jeden z těchto integrálů divergentní, pak je divergentní také integrál $\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{d}x$ .

[editovat] Bolzanova-Cauchyova podmínka

O konvergenci integrálu $\int_0^\infty f(x)\mathrm{d}x$ lze rozhodnout na základě tzv. Bolzanovy-Cauchyovy podmínky. Podle této podmínky je integrál $\int_0^\infty f(x)\mathrm{d}x$ konvergentní tehdy a pouze tehdy, pokud k libovolnému $\varepsilon>0$ existuje takové $B$ , že pro všechna $b 1, b 2$ , pro které $b 1 > B > a$ a $b 2 > B > a$ , platí

$\left|\int_{b_1}^{b_2} f(x) \mathrm{d}x \right| < \varepsilon$

[editovat] Vícerozměrný integrál

Vícerozměrné integrály lze zobecnit také na případ vícerozměrné neomezené oblasti $Ω$ .

Při výpočtu můžeme oblast $Ω$ vyjádřit jako sjednocení omezené oblasti $\Omega^\prime$ a neomezené oblasti $ω$ . Poté provedeme limitní přechod $\omega \to 0$ . Pokud některý z limitních přechodů neexistuje nebo je nevlastní, pak integrál označíme jako divergentní. Pokud jsou všechny limitní přechody vlastní, je integrál konvergentní.

Při použití Fubiniovy věty aplikujeme limitní přechod na každý z integrálů, je-li oblast $Ω$ v dané souřadnici neomezená. Postup je obdobný jako v případě jednorozměrných nevlastních integrálů.

[editovat] Integrál nevlastní vlivem funkce

Integrál nevlastní vlivem funkce.

Integrál z funkce $f (x)$ na (konečném) intervalu $\langle a,b\rangle$ označíme jako nevlastní integrál (vlivem funkce), jestliže funkce $f (x)$ je v (levém) okolí bodu $b$ nebo v (pravém) okolí bodu $a$ neohraničená.

Integrál nevlastní vlivem funkce je představován modrou plochou na obrázku.

Pokud je funkce $f (x)$ neohraničená v okolí bodu b, pak píšeme

$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \lim_{c \to b-} \int_a^c f(x)\mathrm{d}x = A$

Pokud je limita vlastní, pak říkáme, že je integrál konvergentní. Pokud limita neexistuje nebo je nevlastní, pak integrál označíme jako divergentní.

Podobně lze pro neohraničenou funkci $f (x)$ v okolí bodu a psát

$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = \lim_{c \to a+} \int_c^b f(x)\mathrm{d}x = B$

Pro vlastní limitu dostáváme opět konvergentní integrál a pro nevlastní (nebo neexistující) integrál divergentní.

Pokud je funkce $f (x)$ neohraničená v okolí nějakého bodu d, pro který platí $a < d < b$ , pak integrál $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$ označíme jako konvergentní, jsou-li konvergentní oba integrály $\int_a^d f(x)\mathrm{d}x$ a $\int_d^b f(x)\mathrm{d}x$ . Pokud je jeden z těchto integrálů divergentní, pak je divergentní také integrál $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$ . Podobné tvrzení musí platit i v případě, že jeden z integrálů je nevlastní vlivem meze.

Jestliže konverguje integrál $\int_a^b |f(x)| \mathrm{d}x$ , pak konverguje také integrál $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$ , a říkáme o něm, že je absolutně konvergentní.

Máme-li na intervalu $\langle a,b)$ funkce $f (x), g (x)$ takové, že $0 \leq f(x) \leq g(x)$ , pak konverguje-li integrál $\int_a^b g(x)\mathrm{d}x$ , pak konverguje také integrál $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$ . Jestliže integrál $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$ diverguje, pak diverguje také integrál $\int_a^b g(x)\mathrm{d}x$ .

Je-li integrál $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$ konvergentní a funkce $g (x)$ je monotónní a ohraničená na $\langle a,b\rangle$ , pak je konvergentní také integrál $\int_a^b f(x)g(x)\mathrm{d}x$ .

[editovat] Bolzanova-Cauchyova podmínka

O konvergenci integrálu $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$ lze rozhodnout na základě tzv. Bolzanovy-Cauchyovy podmínky. Podle této podmínky je integrál $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$ konvergentní tehdy a pouze tehdy, pokud k libovolnému $\varepsilon>0$ existuje takové $δ > 0$ , že pro každou dvojici kladných čísel $δ 1,δ 2$ , pro které $δ 1 < δ$ a $δ 2 < δ$ , platí

$\left|\int_{b-\delta_1}^{b-\delta_2} f(x) \mathrm{d}x\right| < \varepsilon$

[editovat] Vícerozměrný integrál

Vícerozměrné integrály nevlastní vlivem funkce jsou zobecněním nevlastních jednorozměrných integrálů.

Předpokládejme, že na uzavřené omezené oblasti je definována funkce $f (x 1, x 2,..., x n)$ , která se v okolí nějakého bodu $A = (a 1, a 2,..., a n)$ stává neohraničenou. Vytvoříme oblast $\Omega^\prime$ tak, že z oblasti $Ω$ vyjmeme otevřenou oblast $ω$ obsahující bod $A$ , tzn. $\Omega^\prime = \Omega\backslash\omega$ . Dostaneme tedy integrál

$I_\omega = {\iint\cdots\int}_{\Omega^\prime} f(x_1,x_2,...,x_n) \mathrm{d}x_1\mathrm{d}x_2\cdots\mathrm{d}x_n$

Pokud existuje takové číslo $I$ , že pro libovolné $\varepsilon>0$ vždy existuje tak malá oblast $ω$ , že $\left|I-I_\omega\right|<\varepsilon$ , pak říkáme, že integrál

${\iint\cdots\int}_\Omega f(x_1,x_2,...,x_n) \mathrm{d}x_1\mathrm{d}x_2\cdots\mathrm{d}x_n$

je konvergentní a má hodnotu $I$ . Provádíme tedy limitní přechod $\omega \to 0$ Pokud hodnota $I$ neexistuje nebo je nevlastní, pak říkáme, že integrál diverguje.

Konvergence uvedeného integrálu je absolutní, tzn. integrál konverguje tehdy a pouze tehdy, konverguje-li integrál ${\iint\cdots\int}_\Omega \left|f(x_1,x_2,...,x_n)\right| \mathrm{d}x_1\mathrm{d}x_2\cdots\mathrm{d}x_n$ .