Normální podgrupa

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Normální podgrupa $\mathbb{P}$ grupy $(\mathbb{G},\cdot)$ je taková její podgrupa, pro kterou navíc platí

$\forall g \in \mathbb{G} \quad g \cdot \mathbb{P} \equiv \{g \cdot p, p \in \mathbb{P} \} = \{p \cdot g, p \in \mathbb{P} \} \equiv \mathbb{P} \cdot g$

[editovat] Jiná definice

Podmínku $\forall g \in \mathbb{G} \quad g \cdot \mathbb{P} = \mathbb{P} \cdot g$ lze přepsat do tvaru $\forall g \in \mathbb{G} \quad g \cdot \mathbb{P} \cdot g^{-1} = \mathbb{P}$ . Z toho můžeme odvodit následující ekvivalentní definici normální podgrupy:

$\mathbb{P}$ je normální podgrupa $(\mathbb{G},\cdot)$ , pokud je to její podgrupa a navíc platí

$\forall g \in \mathbb{G}, p \in \mathbb{P} \quad g \cdot p \cdot g^{-1} \in \mathbb{P}$ .

Z tohoto vztahu plyne, že $g \cdot \mathbb{P} \cdot g^{-1} \subseteq \mathbb{P}$ , a protože platí i pro $g - 1$ : $g^{-1} \cdot \mathbb{P} \cdot g \subseteq \mathbb{P} \Leftrightarrow \mathbb{P} \subseteq g \cdot \mathbb{P} \cdot g^{-1}$ , je ekvivalentní $\quad g \cdot \mathbb{P} \cdot g^{-1} = \mathbb{P}$ .

Proto se také někdy normální podgrupě říká invariantní vůči vnitřním automorfismům $p \mapsto g \cdot p \cdot g^{-1}$ .

[editovat] Příklady normálních podgrup

Jádro homomorfismu $\varphi:\mathbb{G} \to \mathbb{H}$ je normální podgrupou, protože pokud $p$ je prvkem jádra, tedy platí-li $\varphi(p) = e_{\mathbb{H}}$ , pak i $\varphi(g \cdot p \cdot g^{-1}) = \varphi(g) \varphi(p) \varphi(g)^{-1} = \varphi(g) \varphi(g)^{-1} = e_{\mathbb{H}}$ a tedy i $g \cdot p \cdot g^{-1}$ je prvkem jádra.

[editovat] Centrum grupy

Mějme grupu $G$ . Její podmnožina $Z (G)$ všech prvků $s$ takových, že pro všechna $g \in G$ platí $s \cdot g = g \cdot s$ , se nazývá centrum grupy $G$ . Centrum grupy $G$ je normální podgrupou grupy $G$ .