Poziční číselná soustava

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Poziční číselná soustava je dnes převládající způsob písemné reprezentace čísel – dokonce pokud se dnes mluví o číselných soustavách jsou tím obvykle myšleny soustavy poziční. V tomto způsobu zápisu čísel je hodnota každé číslice dána její pozicí v sekvenci symbolů. Každá číslice má touto pozicí dánu svou váhu pro výpočet celkové hodnoty čísla. Patrně nezbytným předpokladem pro vynalezení pozičních soustav je objevení symbolu pro nulu.

Výhodou tohoto způsobu zápisu je velká pružnost a poměrně malá množina číslic. Za nevýhodu je považována velmi snadná změna hodnoty čísla pouhým připsáním číslice před původní číslo. Proto se před peněžní částky v bance obvykle píše vlnovka takový způsob falšování znemožňující.

Obsah

1 Základní informace
2 Způsob zápisu
3 Určení hodnoty
4 Zápis čísla v dané soustavě
- 4.1 Celá část čísla
- 4.2 Zlomková část čísla
5 Přímé převody mezi soustavami
6 Příklady pozičních soustav
- 6.1 Současné
- 6.2 Historické
7 Podívejte se také

[editovat] Základní informace

Klíčovou charakteristikou pozičních soustav je jejich základ. To je obvykle přirozené číslo větší než jedna. Váhy jednotlivých číslic jsou pak mocninami tohoto základu. Zároveň základ určuje počet symbolů pro číslice používaných v dané soustavě. Základ obvykle značíme z, v literatuře se však lze setkat i se značením jako r z anglického „radix“.

V pozičních číselných soustavách má také smysl mluvit o řádech čísel. Kde za řád číslice považujeme její váhu a za řád čísla maximální váhu nenulové číslice.

Desítková soustava, nazvaná podle svého základu (10) má deset symbolů pro číslice: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9. Váhy jednotlivých číslic jsou násobky čísla 10: …; 1000; 100; 10; 1; 0,1; 0,01; … Pro soustavy o vyšším základu než je tradiční počet číslic (tedy deset) se pro vyšší číslice používají písmena bez akcentů. Například šestnáctková soustava tak má symboly: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E a F.

[editovat] Způsob zápisu

V běžně používaných číselných soustavách se jednotlivé číslice zapisují za sebe, nijak se neoddělují. Desetinnou čárkou se odlišuje pouze celá a zlomková část čísla. Někdy se pro přehlednost oddělují také významější řády: tisíce, milióny, apod. Číslo N v soustavě o základu z se tak zapisuje:

$N = (\ldots n_{i-1}n_{i-2}\ldots n_{1}n_{0}{,}n_{-1}n_{-2}\ldots n_{-j}\ldots)_z$

V případě desítkové soustavy se číslo dle konvence nezapisuje do závorek, ani není nutné k němu psát jeho základ.

[editovat] Určení hodnoty

Hodnotu čísla N zapsanáho v dané soustavě o základu z získáme jako součet hodnot jednotlivých číslic vynásobených jejich vahou. Tedy například hodnotu čísla (10010)₂ získáme takto:

$(10010)_2 = 0 \cdot 2^0 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^4 = 0 + 2 + 0 + 0 + 16 = 18$

[editovat] Zápis čísla v dané soustavě

Postup pro zápis čísla v dané číselné soustavě se liší pro jeho celou a zlomkovou část.

[editovat] Celá část čísla

Pro převod celé části – nebo také převod kladných celých čísel – lze použít následující postup:

Převáděné číslo celočíselně dělíme základem cílové soustavy
Vycházející zbytky zapisujeme odzadu
Výsledek dělení použijeme v dalším cyklu algoritmu
Předcházející kroky opakujeme dokud není výsledkem dělení nula

Což v konkrétním případě (158)₁₀=(x)₂ znamená:

$158\,:\,2\,=\,79\,zb.\,0$

$79\,:\,2\,=\,39\,zb.\,1$

$39\,:\,2\,=\,19\,zb.\,1$

$19\,:\,2\,=\,9\,zb.\,1$

$9\,:\,2\,=\,4\,zb.\,1$

$4\,:\,2\,=\,2\,zb.\,0$

$2\,:\,2\,=\,1\,zb.\,0$

$1\,:\,2\,=\,0\,zb.\,1$

Zapíšeme-li zbytky do řady odzdola, je výsledek: (158)₁₀=(10011110)₂

[editovat] Zlomková část čísla

Pro část čísla za „desetinnou čárkou“ se postupuje podobně – jen se místo dělení násobí. Postup je tedy následující:

Zlomkovou (desetinnou) část násobíme základem cílové soustavy
Výsledek rozdělíme na celou a zlomkovou část, zlomkovou část použijeme v další iteraci algoritmu
Celá část získaného čísla je příslušnou číslicí požadovaného zápisu v jiné číselné soustavě
Předchozí kroky se opakují dokud není dosažen zbytek 0 nebo požadovaná přesnost výsledku

Zápis čísla (0,6789)₁₀=(x)₂ tedy lze získat následovně:

$0{,}6789\,\cdot\,2\,=\,1{,}3578\,=\,1\,+\,0{,}3578$

$0{,}3578\,\cdot\,2\,=\,0{,}7156\,=\,0\,+\,0{,}7156$

$0{,}7156\,\cdot\,2\,=\,1{,}4312\,=\,1\,+\,0{,}4312$

$0{,}4312\,\cdot\,2\,=\,0{,}8624\,=\,0\,+\,0{,}8624$

$0{,}8624\,\cdot\,2\,=\,1{,}7248\,=\,1\,+\,0{,}7248$

Pak tedy (0,6789)₁₀=(0,10101)₂

[editovat] Přímé převody mezi soustavami

Ukázka k příkladu
1	0	0	1	0	0	0	1
9				1

Za běžný postup při převodu čísel mezi dvěma číselnými soustavami je pro lidi považovaný převod přes desítkovou soustavu. Pokud však základ jedné soustavy je mocninou základu soustavy druhé, lze postupovat i přímo. Obvykle se tento postup používá při převodu mezi dvojkovou a šestnáctkovou soustavou. Protože je 16 = 2⁴ odpovídá každým čtyřem číslicím dvojkového čísla právě jedna číslice šestnáctková. V daném případě je (1001)₂ = (9)₁₆ a (0001)₂ = (1)₁₆ a proto (10010001)₂ = (91)₁₆.

[editovat] Příklady pozičních soustav

[editovat] Současné

Dvojková soustava (binární) — z = 2
Osmičková soustava (oktalová) — z = 8
Desítková soustava (decimální) — z = 10
Šestnáctková soustava (hexadecimální) — z = 16

[editovat] Historické

Mayská dvacítková soustava
Indické číslice

[editovat] Podívejte se také

Citováno z „http://cs.wikipedia.org../../../p/o/z/Pozi%C4%8Dn%C3%AD_%C4%8D%C3%ADseln%C3%A1_soustava.html“

Kategorie: Numerická matematika | Teorie čísel