Stieltjesův integrál

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Stieltjesův integrál je v matematice zobecněním Riemannova (pak jej označujeme jako Riemannův-Stieltjesův integrál), popř. Lebesgueova integrálu (pak jej označujeme jako Lebesgueův-Stieltjesův integrál).

Obsah

1 Definice
- 1.1 Existence integrálu
- 1.2 Zobecnění
2 Podívejte se také na
3 Externí odkazy

[editovat] Definice

Uvažujme dvě konečné funkce $f (x)$ a $g (x)$ na intervalu $\langle a,b\rangle$ . Tento interval rozdělíme body $x i$ , kde $a = x 0 < x 1 < x 2 < ... < x n - 1 < x n = b$ , na podintervaly, a v každém z nich vybereme libovolný bod $\xi_i \in \langle x_{i-1},x_i\rangle$ . Sestrojíme součet

$\sigma = \sum_{i=1}^n f(\xi_i)[g(x_i)-g(x_{i-1})]$

Délku největšího podintervalu (při daném dělení $d$ ) označíme jako normu dělení $d$ , tedy $ν(d) = max i (x i - x i - 1)$ . Konverguje-li suma $σ$ pro $\nu \to 0$ k nějakému číslu $I$ , jehož hodnota nezávisí na způsobu dělení intervalu $\langle a,b\rangle$ a volbě bodů $ξ i$ , pak $I$ nazýváme Stieltjesovým (popř. Riemannovým-Stieltjesovým) integrálem funkce $f$ podle funkce $g$ a zapisujeme

$I= \int_a^b f(x) \mathrm{d}g(x) = \int_a^b f \mathrm{d}g$

Při volbě $g (x) = x$ přechází Stieltjesův integrál na integrál Riemannův.

[editovat] Existence integrálu

Stieltjesův integrál existuje, je-li funkce $f$ na intervalu $\langle a,b\rangle$ spojitá a pokud má funkce $g$ na tomto intervalu konečnou variaci. Stieltjesův integrál tedy existuje i v případě, kdy funkce $g$ obsahuje body nespojitosti prvního druhu, tzn. skoky.

Pokud je funkce $f$ na $\langle a,b\rangle$ spojitá a funkce $g$ má na tomto intervalu spojitou derivaci, pak Riemannův-Stieltjesův integrál existuje a platí

$\int_a^b f(x)\mathrm{d}g(x) = \int_a^b f(x) g^\prime(x) \mathrm{d}x$

Riemannův-Stieltjesův integrál existuje také v případě, pokud je funkce $f$ na intervalu $\langle a,b\rangle$ spojitá a funkce $g$ a $g^\prime$ jsou na tomto intervalu po částech spojité. Označme v takovém případě body nespojitosti funkce $g$ jako $x k$ a velikost skoku funkce $g$ v daném bodě nespojitosti $x k$ jako $s k$ , tzn.

$s_k = g(x_{k+})-g(x_{k-}) = \lim_{x \to x_{k+}}g(x) - \lim_{x \to x_{k-}}g(x)$

Stieltjesův integrál lze pak zapsat ve tvaru

$\int_a^b f(x)\mathrm{d}g(x) = \int_a^b f(x)g^\prime(x)\mathrm{d}x + \sum_{k=0}^p f(x_k)s_k$ ,

kde $p$ je počet bodů nespojitosti.

[editovat] Zobecnění

Stieltjesův integrál lze založit také na definici Lebesqueovy míry, což vede k zobecnění Stieltjesova integrálu, tzv. Lebesqueovu-Stieltjesovu integrálu.

Podobně lze zobecněním Kurzweilova integrálu získat Kurzweilův-Stieltjesův integrál.