Wikipedista:Vlavla/Vibroizolační uložení tělesa v rovině

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Obsah

1 Formulace problému
2 Postup řešení
3 Závěr

[editovat] Formulace problému

Sestavte matematický model tělesa v rovině (se třemi stupni volnosti) uloženého pomocí osmi pružin a tlumičů v prostředí Matlab. Zvolte libovolnou metodu (Newton, Lagrange). Zjednodušené schéma soustavy (značky pružin představují současně tuhosti i tlumení) vypadá takto (a a b jsou rozměry uloženého tělesa, m je jeho hmotnost a I moment setrvačnosti k ose z, která prochází těžištěm):

[editovat] Postup řešení

Předpokládáme-li malé výchylky a malá natočení, platí princip superpozice, což nám umožňuje rozdělit problém při uvolňování na tři jednodušší případy:

výchylka ve směru osy x
výchylka ve směru osy y
natočení kolem osy z

[editovat] Sestavení pohybových rovnic

Každý z těchto tří elementárních případů tedy samostatně uvolníme a na závěr získáme tyto tři pohybové rovnice pro řešenou dynamickou soustavu:

$m \ddot x = \sum Fx = - k_1 x - k_2 x - k_3 x - k_4 x - k_1 \phi \frac{b}{2} - k_3 \phi \frac{b}{2} + k_2 \phi \frac{b}{2} + k_4 \phi \frac{b}{2} - b_1 \dot x - b_2 \dot x - b_3 \dot x - b_4 \dot x - b_1 \dot \phi \frac{b}{2} - b_3 \dot \phi \frac{b}{2} + b_2 \dot \phi \frac{b}{2} + b_4 \dot \phi \frac{b}{2}$

$m \ddot y = \sum Fy = - k_5 y - k_6 y - k_7 y - k_8 y - k_1 \phi \frac{b}{2} - k_3 \phi \frac{b}{2} + k_2 \phi \frac{b}{2} + k_4 \phi \frac{b}{2} - b_5 \dot y - b_6 \dot y - b_7 \dot y - b_8 \dot y - b_1 \dot \phi \frac{b}{2} - b_3 \dot \phi \frac{b}{2} + b_2 \dot \phi \frac{b}{2} + b_4 \dot \phi \frac{b}{2}$

$I \ddot \phi = \sum Mz = - k_1 x \frac{b}{2} - k_3 x \frac{b}{2} + k_2 x \frac{b}{2} + k_4 x \frac{b}{2} - k_6 y \frac{a}{2} - k_8 y \frac{a}{2} + k_5 y \frac{a}{2} + k_7 y \frac{a}{2} - k_1 \phi \frac{b^2}{4} - k_2 \phi \frac{b^2}{4} - k_3 \phi \frac{b^2}{4} - k_4 \phi \frac{b^2}{4} - k_5 \phi \frac{a^2}{4} - k_6 \phi \frac{a^2}{4} - k_7 \phi \frac{a^2}{4} - k_8 \phi \frac{a^2}{4} - b_1 \dot x \frac{b}{2} - b_3 \dot x \frac{b}{2} + b_2 \dot x \frac{b}{2} + b_4 \dot x \frac{b}{2} - b_6 \dot y \frac{a}{2} - b_8 \dot y \frac{a}{2} + b_5 \dot y \frac{a}{2} + b_7 \dot y \frac{a}{2} - b_1 \dot \phi \frac{b^2}{4} - b_2\dot \phi \frac{b^2}{4} - b_3 \dot \phi \frac{b^2}{4} - b_4 \dot \phi \frac{b^2}{4} - b_5 \dot \phi \frac{a^2}{4} - b_6 \dot \phi \frac{a^2}{4} - b_7 \dot \phi \frac{a^2}{4} - b_8 \dot \phi \frac{a^2}{4}$

[editovat] Transformace diferenciálních rovnic

Každou z těchto diferenciálních rovnic 2.řádu je nutné převést na dvě diferenciální rovnice 1.řádu, abychom mohli použít jeden z řešičů ODE v Matlabu:

$y_1 = x \,\!$
$\dot y_1 = \dot x$
$y_2 = \dot x$
$\dot y_2 = \ddot x$
$y_3 = y \,\!$
$\dot y_3 = \dot y$
$y_4 = \dot y$
$\dot y_4 = \ddot y$
$y_5 = \phi \,\!$
$\dot y_5 = \dot \phi$
$y_6 = \dot \phi$
$\dot y_6 = \ddot \phi$

Touto úpravou vznikne 6 rovnic, které zapíšeme takto:

function out=my_ode(t,y,options,k1,k2,k3,k4,k5,k6,k7,k8,
                    b1,b2,b3,b4,b5,b6,b7,b8,m,a,b)
dy(1,1)=y(2,1);
dy(3,1)=y(4,1);
dy(5,1)=y(6,1);
dy(2,1)=1/m*(-k1*y(1,1)-k2*y(1,1)-k3*y(1,1)-k4*y(1,1)
             -k1*y(5,1)*b/2-k3*y(5,1)*b/2+k2*y(5,1)*b/2+k4*y(5,1)*b/2
             -b1*y(2,1)-b2*y(2,1)-b3*y(2,1)-b4*y(2,1)
             -b1*y(6,1)*b/2-b3*y(6,1)*b/2+b2*y(6,1)*b/2+b4*y(6,1)*b/2);
dy(4,1)=1/m*(-k5*y(3,1)-k6*y(3,1)-k7*y(3,1)-k8*y(3,1)
             -k6*y(5,1)*a/2-k8*y(5,1)*a/2+k5*y(5,1)*a/2+k7*y(5,1)*a/2
             -b5*y(4,1)-b6*y(4,1)-b7*y(4,1)-b8*y(4,1)
             -b6*y(6,1)*a/2-b8*y(6,1)*a/2+b5*y(6,1)*a/2+b7*y(6,1)*a/2);
dy(6,1)=1/(m*(a*a+b*b)/12)*(-k1*y(1,1)*b/2-k3*y(1,1)*b/2+k2*y(1,1)*b/2+k4*y(1,1)*b/2
                            -k6*y(3,1)*a/2-k8*y(3,1)*a/2+k5*y(3,1)*a/2+k7*y(3,1)*a/2
                            -k1*y(5,1)*b*b/4-k2*y(5,1)*b*b/4-k3*y(5,1)*b*b/4-k4*y(5,1)*b*b/4
                            -k5*y(5,1)*a*a/4-k6*y(5,1)*a*a/4-k7*y(5,1)*a*a/4-k8*y(5,1)*a*a/4
                            -b1*y(2,1)*b/2-b3*y(2,1)*b/2+b2*y(2,1)*b/2+b4*y(2,1)*b/2
                            -b6*y(4,1)*a/2-b8*y(4,1)*a/2+b5*y(4,1)*a/2+b7*y(4,1)*a/2
                            -b1*y(6,1)*b*b/4-b2*y(6,1)*b*b/4-b3*y(6,1)*b*b/4-b4*y(6,1)*b*b/4
                            -b5*y(6,1)*a*a/4-b6*y(6,1)*a*a/4-b7*y(6,1)*a*a/4-b8*y(6,1)*a*a/4);
out=dy;

[editovat] Triviální řešení

Pro zadané triviální počáteční podmínky ( $x 0 = 1$ , $y 0 = 0.5$ , $φ 0 = 0.1$ ) a pro nulové tlumení si ověříme, zda se soustava chová správně:

clc;
clear;
%casovy interval
tint=[0,20];
%tint=[0,1/(sqrt(12)/(2*pi))];
%pocatecni podminky vektoru y=[x;dx;y;dy;fi;dfi]
y0=[1;0;0.5;0;0.1;0];
%zadani tuhosti
k1=10;
k2=10;
k3=10;
k4=10;
k5=10;
k6=10;
k7=10;
k8=10;
%zadani tlumeni
b1=0;
b2=0;
b3=0;
b4=0;
b5=0;
b6=0;
b7=0;
b8=0;
%zadani hmotnosti
m=10;
%zadani rozmeru telesa
a=1;
b=1;
options=;
[T,Y]=ode45('my_ode',tint,y0,options,k1,k2,k3,k4,k5,k6,k7,k8,b1,b2,b3,b4,b5,b6,b7,b8,m,a,b);
plot(T,Y(:,1),'b-*',T,Y(:,3),'r-+',T,Y(:,5),'g-x');
xlabel('t [s]');
ylabel('x [m], y [m], fi [rad]');
%plot(T,Y(:,2),'b-*',T,Y(:,4),'r-+',T,Y(:,6),'g-x');
%xlabel('t [s]');
%ylabel('vx [ms-1], vy [ms-1], vfi [rads-1]');
%plot(T,Y(:,5));

[editovat] Odezva s uvažováním tlumení

Pro případ, kdy budeme uvažovat tlumení, bude výsledná odezva soustavy na počáteční podmínky vypadat takto:

[editovat] Vlastní frekvence

Jednou z důležitých charakteristik soustavy jsou vlastní čísla, což jsou druhé mocniny jejích vlastních frekvencí. Omezme se v tomto případě na soustavu bez tlumení. Pro tento případ máme tedy dvě možnosti jejich zjištění:

1. Přímým řešením tzv. vlastního problému $\mathbf{K} - \Omega^2 \mathbf{M} = 0$

Pro řešení takovéto rovnice existuje v Matlabu přímo funkce "eig".

M = [m,0,0;0,m,0;0,0,m*(a*a+b*b)/12];
K = [k1+k2+k3+k4,0,k1*b/2+k3*b/2-k2*b/2-k4*b/2;
    0,k5+k6+k7+k8,k6*a/2+k8*a/2-k5*a/2-k7*a/2;
    k1*b/2+k3*b/2-k2*b/2-k4*b/2,
    k6*a/2+k8*a/2-k5*a/2-k7*a/2,
    k1*b*b/4+k2*b*b/4+k3*b*b/4+k4*b*b/4+k5*a*a/4+k6*a*a/4+k7*a*a/4+k8*a*a/4];
A = K*inv(M);
[V,D] = eig(A)

Výstupem jsou

matice vlastních čísel $\mathbf{D}$
matice vlastních tvarů $\mathbf{V}$

$D = \begin{pmatrix}4 & 0 & 0 \\0 & 4 & 0 \\0 & 0 & 12 \end{pmatrix}$
$V = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2. Odečtením z amplitudové charakteristiky

V tomto případě je nutné do soustavy zavést buzení (působiště budících sil uvažujeme v těžišti tělesa), které je harmonickou funkcí frekvence $ω$ .

function out=my_ode_omega(t,y,options,k1,k2,k3,k4,k5,k6,k7,k8,b1,b2,b3,b4,b5,b6,b7,b8,m,a,b,Fx,Fy,Mz,omega)
dy(1,1)=y(2,1);
dy(3,1)=y(4,1);
dy(5,1)=y(6,1);
dy(2,1)=1/m*(-k1*y(1,1)-k2*y(1,1)-k3*y(1,1)-k4*y(1,1)
             -k1*y(5,1)*b/2-k3*y(5,1)*b/2+k2*y(5,1)*b/2+k4*y(5,1)*b/2
             -b1*y(2,1)-b2*y(2,1)-b3*y(2,1)-b4*y(2,1)
             -b1*y(6,1)*b/2-b3*y(6,1)*b/2+b2*y(6,1)*b/2+b4*y(6,1)*b/2
             +Fx*cos(omega*t));
dy(4,1)=1/m*(-k5*y(3,1)-k6*y(3,1)-k7*y(3,1)-k8*y(3,1)
             -k6*y(5,1)*a/2-k8*y(5,1)*a/2+k5*y(5,1)*a/2+k7*y(5,1)*a/2
             -b5*y(4,1)-b6*y(4,1)-b7*y(4,1)-b8*y(4,1)
             -b6*y(6,1)*a/2-b8*y(6,1)*a/2+b5*y(6,1)*a/2+b7*y(6,1)*a/2
             +Fy*cos(omega*t));
dy(6,1)=1/(m*(a*a+b*b)/12)*(-k1*y(1,1)*b/2-k3*y(1,1)*b/2+k2*y(1,1)*b/2+k4*y(1,1)*b/2
                            -k6*y(3,1)*a/2-k8*y(3,1)*a/2+k5*y(3,1)*a/2+k7*y(3,1)*a/2
                            -k1*y(5,1)*b*b/4-k2*y(5,1)*b*b/4-k3*y(5,1)*b*b/4-k4*y(5,1)*b*b/4
                            -k5*y(5,1)*a*a/4-k6*y(5,1)*a*a/4-k7*y(5,1)*a*a/4-k8*y(5,1)*a*a/4
                            -b1*y(2,1)*b/2-b3*y(2,1)*b/2+b2*y(2,1)*b/2+b4*y(2,1)*b/2
                            -b6*y(4,1)*a/2-b8*y(4,1)*a/2+b5*y(4,1)*a/2+b7*y(4,1)*a/2
                            -b1*y(6,1)*b*b/4-b2*y(6,1)*b*b/4-b3*y(6,1)*b*b/4-b4*y(6,1)*b*b/4
                            -b5*y(6,1)*a*a/4-b6*y(6,1)*a*a/4-b7*y(6,1)*a*a/4-b8*y(6,1)*a*a/4
                            +Mz*cos(omega*t));
out=dy;

Frekvenci $ω$ průběžně měníme a současně odečítáme amplitudu kmitů po odeznění přechodového děje, čímž vznikne amplitudová charakteristika soustavy, přičemž vlastní frekvence pro výchylky v ose x a v ose y pro symetricky zadanou úlohu jsou stejné a vlastní frekvence torzních kmitů kolem osy z je odlišná:

[editovat] Závěr

Řešení zadaného problému proběhlo úspěšně. Výsledky modelu odpovídaly našim zkušenostem a předpokladům o chování soustavy.
Vlastní čísla netlumené soustavy jsme řešili dvěma různými způsoby, které vedly ke stejným hodnotám.
Z matice vlastních tvarů soustavy je vidět, že pro zvolenou symetrickou úlohu jsou jednotlivé vlastní tvary na sobě nezávislé, a tedy i pro jednotlivé druhy pohybu (výchylka ve směru osy x, výchylka ve směru osy y, natočení kolem osy z) má soustava 3 resp. 2 na sobě nezávislé vlastní frekvence.

Citováno z „http://cs.wikipedia.org../../../v/l/a/Wikipedista%7EVlavla_Vibroizola%C4%8Dn%C3%AD_ulo%C5%BEen%C3%AD_t%C4%9Blesa_v_rovin%C4%9B_0297.html“