Kasteparabel

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Du har nye beskeder (forskel fra næstsidste redigering).

NB! Stadig under udvikling

Kasteparabel er også kendt som det skrå kast. Emnet omhandler den bue som et legeme vil tage hvis det bliver kastet/skudt samt kastelængde/spændevidden. Denne bue vil tage form som en matematisk parabel. Der anvendes tit det kartesiansk koordinatsystem.

Eksempel:

Vindmodstanden tages ikke i betragtning. En kanon skyder en kugle i en given vinkel, $α$ , i forhold til vandret. Kanonen skyder også med en given starthastighed, $\vec v_0$ . Hastigheden betragtes som en vektor. Denne vektors koordinater må være:

$\vec v_0={v_0 \cdot \cos(\alpha)\choose v_0 \cdot \sin(\alpha)}$

Så snart kuglen har forladt løbet er den ikke påvirket af andre kræfter end tyngdekraften. Tyngdeaccelerationen er lodret og nedadrettet. Derfor må hastigheden i x-aksens retning være konstant. Derfor er hastigheden i x-aksens retning:

$\vec v_x=v_0\cdot cos(\alpha)$

På sammen måde kan vi så bestemme stedet hvor kuglen befinder sig på et givent tidpunkt, ved bevægelse med konstant hastighed:

$x=v_0\cdot cos(\alpha)\cdot t$

Accelerationen i lodret plan må absolut være en jævn acceleration og denne må være lig -g. Det negative fortegn giver accelerationen retningen nedad. Der benyttes derfor bevægelse med konstant acceleration til at beskrive bevægelsen i y-aksens retning. Denne bliver derfor:

$\vec v_y=-gt+v_0\cdot sin(\alpha)$

y-koordinatet på et givent tidpunkt kan udledes ved stedformlen for bevægelse med konstant acceleration og dermed beskrives som:

$y=-\frac{1}{2}gt^2+v_0\cdot sin(\alpha) \cdot t$

At kastelinien har form som en matematisk parabel kan ikke umiddelbart ses ud fra dette. Dette skal vises. Der ses - udfra udtrykket for x-koordinaten - at man kan bestemme det tidspunkt, hvor bolden har en given hastighed og x-koordinat.

$x=v_0\cdot cos(\alpha)\cdot t$

$\Updownarrow$

$t=\frac{x}{v_0\cdot cos(\alpha)}$

For hvert tidspunkt og x-koordinat, må der være en tilhørende y-koordinat. Overstående "tids-formel" kan derfor indsættes i y-koordinat-formlen:

$y=-\frac{1}{2}g(\frac{x}{v_0\cdot cos(\alpha)})^2+v_0\cdot sin(\alpha) \cdot \frac{x}{v_0\cdot cos(\alpha)}$

$\Updownarrow$

$y=-\frac{g}{2\cdot v_0^2 (\cos(\alpha))^2}\cdot x^2 + \tan(\alpha)\cdot x$

Dermed ses det at leddene foran " $x 2$ " og "x" udelukket består af konstanter; og derfor må tegne en parabel i en koordinatsystem. Der indgår intet sidste konstant led, således kan vi konkludere at den skærer i punktet (0;0).

NB! Stadig under udvikling