Uegentligt integral

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Du har nye beskeder (forskel fra næstsidste redigering).

Et uegentligt integral er indenfor matematikken en bestemt type af integraler, som kort sagt beskæftiger sig med uendeligheder.

Der findes to forskellige typer af uegentlige integraler:

Ubegrænset mængde (intervalet er uendeligt)
Ubegrænset integrand (funktionen der integreres over antager uendeligt store værdier)

[redigér] Definition

Den første type uegentlige integral skrives

$\int_a^\infty f(x) dx,$

og siges at være konvergent, hvis funktionen $F$ defineret ved

$F(b) = \int_a^b f(x) dx$

har en endelig grænseværdi for $b\to\infty$ . Er det tilfældet tilskrives integralet grænseværdiens værdi, hvilket skrives

$\int_a^\infty f(x) dx = \lim_{b\to\infty} F(b) = \lim_{b\to\infty} \int_a^b f(x) dx.$

Hvis $F (b)$ omvendt er divergent for $b\to\infty$ tilskrives integralet ingen værdi.

Den anden type uegentlige integral fremkommer i situationen, hvor en funktion $f:]a,b]\to\mathbb{R}$ betragtes. I analogi med det foregående skrives integralet

$\int_a^b f(x) dx,$

og det siges at være konvergent, hvis funktionen defineret ved

$F(c) = \int_c^b f(x) dx$

har en grænseværdi for $c\to a^+$ (hvor der her med $c\to a^+$ menes " $c$ gående $a$ fra højre".) Integralet tilskrives som før grænseværdiens værdi og skrives

$\int_a^b f(x) dx = \lim_{c\to a^+} F(c) = \lim_{c \to a^+} \int_c^b f(x) dx,$

og som før siges integralet at være divergent, hvis $F (c)$ divergerer for $c\to a^+$ .

[redigér] Eksempler

Et eksempel på den første type med ubegrænset mængde kunne være nedenstående.

$\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \textrm{d} x = { \sqrt{\pi} \over 2 }$

Et eksempel på det andet tilfælde, altså ubegrænset integrand, kunne være nedenstående hvor der skal lægges mærke til at der integreres fra nul hvor funktionen ikke er defineret.

$\int_{0}^{1}{1\over x^2} \textrm{d} x$

Lad os betragte et eksempel, der viser den egentlige fremgangsmåde, nemlig integralet

$\int_1^\infty {\frac{1}{x^3}} dx.$

Benyttes definitionen, fås at

$\int_1^\infty {1\over x^3} \textrm{d} x = \lim_{t\to\infty} \int_1^t {\frac{1}{x^3}} \textrm{d} x = \lim_{t\to\infty} \left[ {-\frac{-1}{2x^2}} \right]_1^t = \lim_{t\to\infty}\left(\frac{1}{2}- {\frac{1}{2t^2}}\right) = \frac{1}{2}.$

Integralet vil med de angivne grænser altså være konvergent med værdien ½.

Hentet fra "http://da.wikipedia.org../../../u/e/g/Uegentligt_integral.html"

Kategorier: Matematik

Uegentligt integral

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

[redigér] Definition

[redigér] Eksempler

Views

Navigation

Søg

Andre sprog