Baker-Campbell-Hausdorff-Formel

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In der Mathematik ist die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel eine Gleichung, die ein Vertauschungsgesetz für bestimmte lineare Operatoren angibt.

[Bearbeiten] Vorbereitende Definitionen

Ist A ein linearer Operator eines Banachraumes in sich, dann kann man das Exponential dieses Operators so definieren:

Dabei bedeutet die Multiplikation eine Hintereinanderausführung und die Addition eine punktweise Addition der beteiligten Operatoren. Der Kommutator (auch Lie-Klammer) zweier linearer Operatoren A und B ist definiert als

[A,B]: = AB − BA

Er ist wieder ein linearer Operator.

[Bearbeiten] Die Formel

Aus der Definition folgt die sogenannte Baker-Campbell-Hausdorff-Formel

mit [A,B]_m = [A,[A,B]_{m − 1}] und [A,B]₀ = B.

Falls [A,[A,B]] = 0 und [B,[B,A]] = 0 gilt (d. h. jeder dieser beiden Kommutatoren ergibt die Nullfunktion), dann gelten die Formeln

e^Ae^B = e^Be^Ae^[A,B]

e^{A + B} = e^Ae^Be ^{− [A,B] / 2}.

Auch diese beiden Formeln werden jeweils als Baker-Campbell-Hausdorff-Formel bezeichnet.

Es gibt weitere Formeln für Zusammenhänge zwischen den Exponentialen zweier Operatoren, die oft ebenso als Baker-Campbell-Hausdorff-Formel bezeichnet werden.

[Bearbeiten] Weblink

• http://planetmath.org/encyclopedia/BakerCampellHausdorffFormulae.html -- Eine englische Darstellung verschiedener Baker-Campbell-Hausdorff-Formeln