Beschränktheit
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Der Begriff der Beschränktheit tritt in verschiedenen Bereichen der Mathematik auf, in denen man einen Begriff der „Größe“ hat. Die grundlegende intuitive Bedeutung aller dieser Begriffe ist, dass ein beschränktes Objekt eine endliche Größe hat und kleiner als ein anderes Objekt endlicher Größe ist (anderenfalls ist es unbeschränkt).
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[Bearbeiten] Analysis
Eine Menge S reeller Zahlen heißt nach oben beschränkt, wenn es eine reelle Zahl k mit 
für alle s aus S gibt. Jede solche Zahl k heißt obere Schranke von S. Die Begriffe nach unten beschränkt und untere Schranke sind analog definiert.
Eine Menge S heißt beschränkt, wenn sie nach oben beschränkt und nach unten beschränkt ist. Folglich ist eine Menge beschränkt, wenn sie in einem endlichen Intervall liegt.
Im Falle ihrer Existenz nennt man die kleinste obere Schranke das Supremum von S, die größte untere Schranke das Infimum.
Eine Funktion 
heißt beschränkt auf X, wenn ihre Bildmenge f(X) eine beschränkte Teilmenge von R ist.
[Bearbeiten] Metrische Räume
Eine Menge S aus einem metrischen Raum (M, d) heißt beschränkt, wenn sie in einer Kugel mit endlichem Radius enthalten ist, d.h. wenn ein x aus M und r > 0 existieren, so dass für alle s aus S gilt: 
.
[Bearbeiten] Funktionalanalysis
[Bearbeiten] Beschränkte Mengen in topologischen Vektorräumen
Eine Teilmenge S eines topologischen Vektorraums heißt beschränkt, wenn es zu jeder Umgebung U von 0 ein k > 0 gibt, so dass 
gilt.
[Bearbeiten] Beschränkte Abbildungen
Sind V und W topologische Vektorräume, so heißt eine Abbildung 
beschränkt, wenn das Bild jeder beschränkten Teilmenge beschränkt ist.
Sind V und W normierte Räume, so ist diese Bedingung äquivalent dazu, dass eine Konstante c > 0 existiert, so dass
für alle 
gilt. Das Infimum aller solcher c heißt dann die Operatornorm von T. Man kann zeigen, daß jeder beschränkte lineare Operator zwischen normierten Räumen stetig ist und umgekehrt.
[Bearbeiten] Literatur
- Bernd Aulbach: Analysis I. Augsburg 2001
