Bessel-Punkt
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Die Bessel-Punkte (nach Friedrich Wilhelm Bessel) sind die optimalen Positionen der Auflager eines gleichmäßig belasteten Balkens oder Bretts.
Man betrachtet einen horizontalen Balken der Länge L, der sich unter seinem eigenen Gewicht oder dem einer gleichmäßig verteilten Auflage verbiegt. Ein anschauliches Anwendungsbeispiel ist ein mit Büchern belasteter Regalboden. Es sollen zwei Auflagepunkte gewählt werden, die aus Symmetriegründen bei x und L − x liegen.
Aus der Differentialgleichung für den schwach gebogenen Stab findet man verschiedene Lösungen, je nachdem, welchen Balkenverlauf man für optimal erklärt:
(1) Der Balken soll in den Auflagerpunkten bei freier Lagerung einen horizontalen Verlauf annehmen oder bei starrer, zwangsweise horizontaler Montage kein Drehmoment auf die Lager ausüben. Dann findet man
.
Die Durchbiegung, gemessen als maximale Auslenkung aus der Horizontalen, ist über 40 mal kleiner als bei Lagerung an den beiden Rändern des Balkens.
(2) Die mittlere Durchbiegung des Balkens soll minimal sein. Dann findet man
.
Ob die Punkte (1) oder (2) historisch korrekt als Bessel-Punkte zu bezeichnen sind, müsste noch geklärt werden.
(3) Als Airy-Punkte bezeichnet man die Auflagerpositionen, die zu einem horizontalen Verlauf der Balkenenden führen. Sie liegen bei
.
Gibt es zu (2) und (3) analytische Ausdrücke?
Literaturangaben?
